미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.4.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

단계 1.1.5.2

$12 x^{2} + 6 x - 6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} + 6 x - 6$ 입니다.

$12 x^{2} + 6 x - 6$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$12 x^{2} + 6 x - 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

단계 2.2.1.2

$6 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

단계 2.2.1.4

$6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1.1

$1$ 을 곱합니다.

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.1.2

$1$ 를 $- 1$ + $2$ 로 다시 씁니다.

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

단계 2.2.2.1.3

최대공약수 $2 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2.4

$2 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x - 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$2 x = 1$

단계 2.4.2.2

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$2 x = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{2}$

단계 2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.6

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = \frac{1}{2}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $\frac{1}{2}$ 를 대입합니다.

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.4

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.4.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.7

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.8

$3$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 4.1.2.1.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.9.1

$- 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

단계 4.1.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

단계 4.1.2.1.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

단계 4.1.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

단계 4.1.2.2.3

$- 3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

단계 4.1.2.2.4

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

단계 4.1.2.2.5

$\frac{- 3}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

단계 4.1.2.2.6

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

단계 4.1.2.2.7

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

단계 4.1.2.2.8

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

단계 4.1.2.2.9

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

단계 4.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

단계 4.1.2.4.2

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

단계 4.1.2.4.3

$5$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{- 7 + 4}{4}$

단계 4.1.2.4.4

$- 7$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{- 3}{4}$

단계 4.1.2.4.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{3}{4}$

단계 4.2

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

단계 4.2.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

단계 4.2.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

단계 4.2.2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

단계 4.2.2.1.5

$- 6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 + 3 + 6 + 1$

단계 4.2.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$- 4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 1 + 6 + 1$

단계 4.2.2.2.2

$- 1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$5 + 1$

단계 4.2.2.2.3

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

단계 5