미적분 예제

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 4 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $4 - x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $4 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

단계 1.1.3.9

${(4 - x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

$x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ 에서 ${(4 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.4.1.1

$x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ 에서 ${(4 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

단계 1.1.4.1.2

${(4 - x)}^{3}$ 에서 ${(4 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

단계 1.1.4.1.3

${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ 에서 ${(4 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

단계 1.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 1.1.4.2.1

$x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

단계 1.1.4.2.2

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.3

${(4 - x)}^{2}$ 을 $(4 - x) (4 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 - x) (4 - x)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.5.1.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.2

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.5.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.5.2

$- 4 x$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

단계 1.1.4.6

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ 를 전개합니다.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.7.1

$- 4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.2

$16$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.7.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.5

$- 8$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.6

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.7.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.7.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

단계 1.1.4.7.9

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

단계 1.1.4.8

$- 64 x$ 에서 $32 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

단계 1.1.4.9

$32 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ 입니다.

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$- 96 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.2

$64$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.3

$- 4 x^{3}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

단계 2.2.1.4

$36 x^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

단계 2.2.1.5

$4 (- 24 x) + 4 (16)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

단계 2.2.1.6

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

단계 2.2.1.7

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

단계 2.2.2

항을 다시 정렬합니다.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

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단계 2.2.3.1

유리근 정리르 이용하여 $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.3.1.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

단계 2.2.3.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

단계 2.2.3.1.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.2.3.1.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.4

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.5

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.6

$- 1$ 를 $9$ 에 더합니다.

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

단계 2.2.3.1.3.7

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$8 - 24 + 16$

단계 2.2.3.1.3.8

$8$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$- 16 + 16$

단계 2.2.3.1.3.9

$- 16$ 를 $16$ 에 더합니다.

$0$

단계 2.2.3.1.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

단계 2.2.3.1.5

$- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.3.1.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

단계 2.2.3.1.5.2

피제수 $- x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

단계 2.2.3.1.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

단계 2.2.3.1.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- x^{3} + x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

단계 2.2.3.1.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

단계 2.2.3.1.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

단계 2.2.3.1.5.7

피제수 $8 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

단계 2.2.3.1.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

단계 2.2.3.1.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $8 x^{2} - 8 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

단계 2.2.3.1.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

단계 2.2.3.1.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

단계 2.2.3.1.5.12

피제수 $- 16 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

단계 2.2.3.1.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

단계 2.2.3.1.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 16 x + 16$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

단계 2.2.3.1.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

단계 2.2.3.1.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$- x^{2} + 8 x - 16$

단계 2.2.3.1.6

$- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

단계 2.2.4

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.1.1

$8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

단계 2.2.4.1.1.2

$8$ 를 $4$ + $4$ 로 다시 씁니다.

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

단계 2.2.4.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

단계 2.2.4.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

단계 2.2.4.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

단계 2.2.4.1.3

최대공약수 $- x + 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

단계 2.2.4.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

단계 2.2.5

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

단계 2.2.5.2

$4$ 을 $- 1 (- 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

단계 2.2.5.3

$- (x) - 1 (- 4)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

단계 2.2.5.4

$- (x - 4)$ 을 $- 1 (x - 4)$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

단계 2.2.5.5

괄호를 제거합니다.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

단계 2.2.5.6

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

단계 2.2.5.7

$x - 4$ 를 $1$ 승 합니다.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

단계 2.2.5.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

단계 2.2.5.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

단계 2.2.5.10

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

${(x - 4)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

${(x - 4)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 4)}^{2} = 0$

단계 2.5.2

${(x - 4)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 2.5.2.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 2.6

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1, 4$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x {(4 - x)}^{3}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

${(4 - (1))}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 - (1))}^{3}$

단계 4.1.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(4 - 1)}^{3}$

단계 4.1.2.3

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$3^{3}$

단계 4.1.2.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27$

단계 4.2

$x = 4$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $4$ 를 대입합니다.

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 {(4 - 4)}^{3}$

단계 4.2.2.2

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$4 \cdot 0^{3}$

단계 4.2.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 \cdot 0$

단계 4.2.2.4

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(1, 27), (4, 0)$

단계 5