미적분 예제

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.1.2

$n = \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.3

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.5.2

$1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.6

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.6.2

$\frac{1}{3}$ 와 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 1.1.7

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.1.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 1.1.9

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 1.1.10

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.10.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

단계 1.1.10.2

$2$ 와 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

단계 1.1.10.3

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 입니다.

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x = 0$

단계 2.3

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$2 x = 0$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{2}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = 0$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 세제곱합니다.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ 을(를) ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.1

$3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.2

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

단계 3.3.3.1.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

단계 3.3.3.1.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1.3.1

$(x + 1) (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

단계 3.3.3.1.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.3.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.3.3.3

${(x + 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.1

${(x + 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x + 1)}^{2} = 0$

단계 3.3.3.3.2

${(x + 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.3.2.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 3.3.3.3.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 3.3.3.4

${(x - 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.4.1

${(x - 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 3.3.3.4.2

${(x - 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.4.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.3.3.4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 3.3.3.5

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 1, 1$

단계 3.4

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x = - 1, x = 1$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.1.2.1.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.1.2.1.3

$- 1$ 을 ${(- 1)}^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.1.2.1.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.1.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

공약수로 약분합니다.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.1.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

${(- 1)}^{1}$

단계 4.1.2.3

지수값을 계산합니다.

$- 1$

단계 4.2

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2.2.1.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2.2.1.3

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.2.2.1.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.2.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$0^{1}$

단계 4.2.2.3

지수값을 계산합니다.

$0$

단계 4.3

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.3.2.1.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{\frac{1}{3}}$

단계 4.3.2.1.3

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

단계 4.3.2.1.4

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.3.2.2

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

단계 4.3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$0^{1}$

단계 4.3.2.3

지수값을 계산합니다.

$0$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

단계 5