미적분 예제

$f (x) = \sqrt[5]{x - 5}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{x - 5}$ 을(를) ${(x - 5)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ , $g (x) = x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{5} {(x - 5)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.7.2

$\frac{1}{5}$ 와 ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x - 5)}^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

단계 1.1.8

합의 법칙에 의해 $x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

단계 1.1.10

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} (1 + 0)$

단계 1.1.11

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} \cdot 1$

단계 1.1.11.2

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$ 입니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$

단계 3.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}} = 0$

단계 3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 $5$ 승합니다.

${(5 \sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}})}^{5} = 0^{5}$

단계 3.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{{(x - 5)}^{4}}$ 을(를) ${(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

단계 3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1

${(5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.2.1.1

$5 {(x - 5)}^{\frac{4}{5}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$5^{5} {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

단계 3.3.2.2.1.2

$5$ 를 $5$ 승 합니다.

$3125 {({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5} = 0^{5}$

단계 3.3.2.2.1.3

${({(x - 5)}^{\frac{4}{5}})}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

단계 3.3.2.2.1.3.2

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$3125 {(x - 5)}^{\frac{4}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

단계 3.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0^{5}$

단계 3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$

단계 3.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.3.3.1

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ 의 각 항을 $3125$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.1

$3125 {(x - 5)}^{4} = 0$ 의 각 항을 $3125$ 로 나눕니다.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

단계 3.3.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.2.1

$3125$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3125 {(x - 5)}^{4}}{3125} = \frac{0}{3125}$

단계 3.3.3.1.2.1.2

${(x - 5)}^{4}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 5)}^{4} = \frac{0}{3125}$

단계 3.3.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.3.3.1.3.1

$0$ 을 $3125$ 로 나눕니다.

${(x - 5)}^{4} = 0$

단계 3.3.3.2

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 3.3.3.3

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $\sqrt[5]{x - 5}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 5$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $5$ 를 대입합니다.

$\sqrt[5]{(5) - 5}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$5$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\sqrt[5]{0}$

단계 4.1.2.2

$0$ 을 $0^{5}$ 로 바꿔 씁니다.

$\sqrt[5]{0^{5}}$

단계 4.1.2.3

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$0$

단계 4.2

모든 점을 나열합니다.

$(5, 0)$

단계 5