미적분 예제

$x^{4} {(x - 1)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.4.2

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

단계 1.1.3.5

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

단계 1.1.3.6

${(x - 1)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 에서 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.1.4.1.1

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ 에서 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

단계 1.1.4.1.2

$4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ 에서 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

단계 1.1.4.1.3

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ 에서 $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.2

$x$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.3

${(x - 1)}^{2}$ 을 $(x - 1) (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.4

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 1) (x - 1)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.5.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5.1.3

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5.1.4

$- 1 x$ 을 $- x$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.5.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.6

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.7

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.7.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.7.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.7.1.2

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.7.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.7.3

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.8

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.8.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.8.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

단계 1.1.4.9

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

단계 1.1.4.9.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

단계 1.1.4.10

$3 x$ 를 $4 x$ 에 더합니다.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

단계 1.1.4.11

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ 를 전개합니다.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.4.12.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.2

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.2.2

$x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.2.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.3

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.5

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.5.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.5.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.6

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.7

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.9

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.9.1

$x$ 를 옮깁니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.9.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.12.9.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.9.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

단계 1.1.4.12.10

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

단계 1.1.4.13

$- 4 x^{5}$ 에서 $14 x^{5}$ 을 뺍니다.

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

단계 1.1.4.14

$8 x^{4}$ 를 $7 x^{4}$ 에 더합니다.

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ 입니다.

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$7 x^{6}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

단계 2.2.1.2

$- 18 x^{5}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

단계 2.2.1.3

$15 x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

단계 2.2.1.4

$- 4 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

단계 2.2.1.5

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

단계 2.2.1.6

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

단계 2.2.1.7

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

단계 2.2.2

유리근 정리르 이용하여 $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

단계 2.2.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

단계 2.2.2.3

$1$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $1$ 은 다항식의 근입니다.

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단계 2.2.2.3.1

$1$ 을 다항식에 대입합니다.

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.2

$1$ 를 $3$ 승 합니다.

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.4

$1$ 를 $2$ 승 합니다.

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.5

$- 18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.6

$7$ 에서 $18$ 을 뺍니다.

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

단계 2.2.2.3.7

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 11 + 15 - 4$

단계 2.2.2.3.8

$- 11$ 를 $15$ 에 더합니다.

$4 - 4$

단계 2.2.2.3.9

$4$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0$

단계 2.2.2.4

$1$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 1$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

단계 2.2.2.5

$7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

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단계 2.2.2.5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

단계 2.2.2.5.2

피제수 $7 x^{3}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

단계 2.2.2.5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

단계 2.2.2.5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $7 x^{3} - 7 x^{2}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

단계 2.2.2.5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

단계 2.2.2.5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

단계 2.2.2.5.7

피제수 $- 11 x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

단계 2.2.2.5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

단계 2.2.2.5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 11 x^{2} + 11 x$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

단계 2.2.2.5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

단계 2.2.2.5.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 2.2.2.5.12

피제수 $4 x$ 의 고차항을 제수 $x$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 2.2.2.5.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

단계 2.2.2.5.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 x - 4$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

단계 2.2.2.5.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

단계 2.2.2.5.16

나머지가 $0$ 이므로, 몫이 최종해입니다.

$7 x^{2} - 11 x + 4$

단계 2.2.2.6

$7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

단계 2.2.3

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ 이고 합이 $b = - 11$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1.1.1

$- 11 x$ 에서 $- 11$ 를 인수분해합니다.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

단계 2.2.3.1.1.1.2

$- 11$ 를 $- 4$ + $- 7$ 로 다시 씁니다.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

단계 2.2.3.1.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

단계 2.2.3.1.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

단계 2.2.3.1.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

단계 2.2.3.1.1.3

최대공약수 $7 x - 4$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

단계 2.2.3.1.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

단계 2.2.3.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

단계 2.2.4

지수를 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

단계 2.2.4.2

$x - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

단계 2.2.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

단계 2.2.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

단계 2.4

$x^{3}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{3}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{3} = 0$

단계 2.4.2

$x^{3} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \sqrt[3]{0}$

단계 2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

단계 2.4.2.2.2

실수를 가정하여 근호 안의 항을 빼냅니다.

$x = 0$

단계 2.5

${(x - 1)}^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

${(x - 1)}^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 2.5.2

${(x - 1)}^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.5.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.6

$7 x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$7 x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$7 x - 4 = 0$

단계 2.6.2

$7 x - 4 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$7 x = 4$

단계 2.6.2.2

$7 x = 4$ 의 각 항을 $7$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.1

$7 x = 4$ 의 각 항을 $7$ 로 나눕니다.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

단계 2.6.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.2.1

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

단계 2.6.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{4}{7}$

단계 2.7

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 {((0) - 1)}^{3}$

단계 4.1.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0 {(- 1)}^{3}$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 \cdot - 1$

단계 4.1.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 {((1) - 1)}^{3}$

단계 4.2.2.2

${((1) - 1)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${((1) - 1)}^{3}$

단계 4.2.2.3

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$0^{3}$

단계 4.2.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.3

$x = \frac{4}{7}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$x$ 에 $\frac{4}{7}$ 를 대입합니다.

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\frac{4}{7}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

단계 4.3.2.2

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

단계 4.3.2.3

$7$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

단계 4.3.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{7}{7}$ 을 곱합니다.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.5

$- 1$ 와 $\frac{7}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.7.1

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.7.2

$4$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

단계 4.3.2.9

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.1

$- \frac{3}{7}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

단계 4.3.2.9.2

$\frac{3}{7}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

단계 4.3.2.10

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

단계 4.3.2.11

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

단계 4.3.2.12

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

단계 4.3.2.13

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.13.1

$\frac{256}{2401}$ 에 $\frac{27}{343}$ 을 곱합니다.

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

단계 4.3.2.13.2

$256$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

단계 4.3.2.13.3

$2401$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$- \frac{6912}{823543}$

단계 4.4

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

단계 5