미적분 예제

$x^{2} e^{x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

단계 1.1.4.2

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 입니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

단계 2.2

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ 에서 $x e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2} e^{x}$ 에서 $x e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

단계 2.2.2

$2 x e^{x}$ 에서 $x e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

단계 2.2.3

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ 에서 $x e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$x e^{x} (x + 2) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$e^{x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$e^{x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{x} = 0$

단계 2.5.2

$e^{x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

단계 2.5.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.5.2.3

$e^{x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.6

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.6.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 2.6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 2.7

$x e^{x} (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x^{2} e^{x}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

${(0)}^{2} e^{0}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 e^{0}$

단계 4.1.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$0 \cdot 1$

단계 4.1.2.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.2

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 e^{- 2}$

단계 4.2.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 \frac{1}{e^{2}}$

단계 4.2.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{e^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{e^{2}}$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

단계 5