미적분 예제

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

단계 1

$y = 5 x^{3} - 3 x$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

단계 2

해당 점이 주어진 함수의 그래프 위에 있는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = 1$ 에서 $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

단계 2.1.2.1.2

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

단계 2.1.2.1.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 5 - 3$

단계 2.1.2.2

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f (1) = 2$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 2.2

$2 = 2$ 이므로 그래프 위에 있는 점입니다.

그래프 위에 있는 점입니다

단계 3

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ 의 도함수 $=$ $m$

단계 4

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 5

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

단계 5.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

이항정리 이용

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

단계 5.1.2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

단계 5.1.2.1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.3.1

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

단계 5.1.2.1.3.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

단계 5.1.2.1.4

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

단계 5.1.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

단계 5.1.2.2

최종 답은 $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ 입니다.

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

단계 5.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

단계 5.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

단계 5.2.3

$- 3 x$ 를 옮깁니다.

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

단계 5.2.4

$5 x^{3}$ 를 옮깁니다.

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

단계 5.2.5

$15 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

단계 5.2.6

$15 h^{2} x$ 와 $5 h^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

단계 5.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

단계 6

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

단계 7.1.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

단계 7.1.3

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

단계 7.1.4

$5 x^{3}$ 에서 $5 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

단계 7.1.5

$5 h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

단계 7.1.6

$- 3 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

단계 7.1.7

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

단계 7.1.8

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.8.1

$5 h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

단계 7.1.8.2

$15 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

단계 7.1.8.3

$15 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

단계 7.1.8.4

$- 3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

단계 7.1.8.5

$h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

단계 7.1.8.6

$h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

단계 7.1.8.7

$h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

단계 7.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

단계 7.2.1.2

$5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

단계 7.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

단계 7.2.2.2

$5 h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

단계 7.2.2.3

$15 x h$ 와 $15 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

단계 8

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

단계 9

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $15 x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

단계 10

$15 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

단계 11

$5$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

단계 12

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

단계 13

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

단계 14

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

단계 14.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

단계 15

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$15 x \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1.1

$0$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

단계 15.1.1.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

단계 15.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

단계 15.1.3

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

단계 15.1.4

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

단계 15.2

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$15 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 x^{2} + 0 - 3$

단계 15.2.2

$15 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$15 x^{2} - 3$

단계 16

기울기 $m$ 을 구합니다. 여기에서는 $m = 12$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

괄호를 제거합니다.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

단계 16.2

$15 \cdot 1^{2} - 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

단계 16.2.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 15 - 3$

단계 16.2.2

$15$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$m = 12$

단계 17

기울기는 $m = 12$ 이고 점은 $(1, 2)$ 입니다.

$m = 12, (1, 2)$

단계 18

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

단계 18.2

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (12) \cdot x + b$

단계 18.3

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (12) \cdot (1) + b$

단계 18.4

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

단계 18.5

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.1

$(12) \cdot (1) + b = 2$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(12) \cdot (1) + b = 2$

단계 18.5.2

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + b = 2$

단계 18.5.3

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.5.3.1

방정식의 양변에서 $12$ 를 뺍니다.

$b = 2 - 12$

단계 18.5.3.2

$2$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$b = - 10$

단계 19

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = 12 x - 10$

단계 20