미적분 예제

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

단계 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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단계 1.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

단계 1.2

$\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.1

$x^{3} + 3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

단계 1.2.1.2

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.1.3

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

단계 1.2.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

단계 1.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = x \sqrt{x + 3}$

단계 1.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

단계 1.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

단계 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

단계 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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단계 3.1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

단계 3.2

방정식의 좌변을 미분합니다.

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단계 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $y$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $y$ 로 바꿉니다.

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

단계 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$2 y y'$

단계 3.3

방정식의 우변을 미분합니다.

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단계 3.3.1

미분합니다.

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단계 3.3.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 3 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 3.3.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

단계 3.3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 3.3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

단계 3.3.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 6 x$

단계 3.4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

단계 3.5

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.5.1

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ 의 각 항을 $2 y$ 로 나눕니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

단계 3.5.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

단계 3.5.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

단계 3.5.2.2.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

단계 3.5.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.5.3.1

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.5.3.1.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

단계 3.5.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.3.1.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

단계 3.5.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

단계 3.5.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

단계 3.6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 을 풉니다.

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단계 4.1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 4.1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$2 y, y, 1$

단계 4.1.2

$2 y, y, 1$ 이 숫자와 변수를 모두 포함하므로 두 단계에 걸쳐 최소공배수를 구합니다. 숫자 부분인 $2, 1, 1$ 의 최소공배수를 구한 뒤 변수 부분 $y^{1}, y^{1}$ 의 최소공배수를 구합니다.

단계 4.1.3

최소공배수는 주어진 모든 수로 나누어 떨어지는 가장 작은 양수입니다.

1. 각 수의 소인수를 나열합니다.

2. 각 인수가 해당 수에서 나타나는 횟수만큼 각 인수를 곱합니다.

단계 4.1.4

$2$ 는 $1$ , $2$ 이외의 인수를 가지지 않습니다.

$2$ 는 소수입니다

단계 4.1.5

숫자 $1$ 은 자신을 약수로 가지지만 오직 한 개의 양의 약수를 가지므로 소수가 아닙니다.

소수가 아님

단계 4.1.6

$2, 1, 1$ 의 최소공배수는 각 수에 포함된 소인수의 최대 개수만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$2$

단계 4.1.7

$y^{1}$ 의 인수는 $y$ 자신입니다.

$y^{1} = y$

$y$ 는 $1$ 번 나타납니다.

단계 4.1.8

$y^{1}, y^{1}$ 의 최소공배수는 각 항에 포함된 소인수의 최대 개수 만큼 모든 소인수를 곱한 값입니다.

$y$

단계 4.1.9

$2 y, y, 1$ 의 최소공배수는 숫자 부분 $2$ 에 변수 부분을 곱한 값입니다.

$2 y$

단계 4.2

$\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ 의 각 항에 $2 y$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1.2.1

$2 y$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.3

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.5

$2 \frac{3 x}{y}$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1.5.1

$2$ 와 $\frac{3 x}{y}$ 을 묶습니다.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.5.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.6

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.6.1

공약수로 약분합니다.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

단계 4.2.2.1.6.2

수식을 다시 씁니다.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

$0 (2 y)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

단계 4.2.3.1.2

$0$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 6 x = 0$

단계 4.3

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$3 x^{2} + 6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) + 6 x = 0$

단계 4.3.1.2

$6 x$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

단계 4.3.1.3

$3 x (x) + 3 x (2)$ 에서 $3 x$ 를 인수분해합니다.

$3 x (x + 2) = 0$

단계 4.3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 2 = 0$

단계 4.3.3

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 4.3.4

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.4.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 4.3.4.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 4.3.5

$3 x (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 2$

단계 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

단계 5.2.2

$0$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0$

단계 5.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

단계 6.2.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

단계 6.2.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 2$

단계 6.2.4

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

단계 7.2.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

단계 7.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = 2$

단계 7.2.4

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

단계 9