미적분 예제

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$f (x) = x - 1$ , $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 8 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.3

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.5

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.6

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.7

$2 x - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.2.8

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.2.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

단계 1.2.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

단계 1.2.11.2

$x^{2} - 8 x + 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.7

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.8

$- 2 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

단계 1.3.4.9

$2 x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

단계 1.3.4.10

$- 10 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

단계 1.3.4.11

$8$ 를 $7$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 18 x + 15$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$3 x^{2} - 18 x + 15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

단계 2.1.1.2

$- 18 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

단계 2.1.1.3

$15$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

단계 2.1.1.4

$3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

단계 2.1.1.5

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

단계 2.1.2

인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 x + 5$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $5$ 이고 합은 $- 6$ 입니다.

$- 5, - 1$

단계 2.1.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

단계 2.1.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

단계 2.3

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$x - 5$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 5 = 0$

단계 2.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2.4

$x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 2.5

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 5, 1$

단계 3

원래 함수 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 을 $x = 5$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $5$ 을 대입합니다.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

단계 3.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.2.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

단계 3.2.2.2

$- 8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

단계 3.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.3.1

$25$ 에서 $40$ 을 뺍니다.

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

단계 3.2.3.2

$- 15$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f (5) = 4 \cdot - 8$

단계 3.2.3.3

$4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (5) = - 32$

단계 3.2.4

최종 답은 $- 32$ 입니다.

$- 32$

단계 4

원래 함수 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

단계 4.2.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

단계 4.2.2.2

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

단계 4.2.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

$1$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

단계 4.2.3.2

$- 7$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f (1) = 0 \cdot 0$

단계 4.2.3.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (1) = 0$

단계 4.2.4

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 5

함수 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ 의 수평 접선은 $y = - 32, y = 0$ 입니다.

$y = - 32, y = 0$

단계 6