미적분 예제

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

합의 법칙에 의해 $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

단계 1.4.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ 와 $\sin (x)$ 을 다시 정렬합니다.

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

단계 1.4.2.2

$\sin (x)$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

단계 1.4.2.3

사인 배각 공식을 적용합니다.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ 에서 $2 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ 에서 $2 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2.2

$2 \cos (x)$ 에서 $2 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

단계 2.2.3

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ 에서 $2 \cos (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

단계 2.4

$\cos (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$\cos (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) = 0$

단계 2.4.2

$\cos (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (0)$

단계 2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$\arccos (0)$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{2}$ 입니다.

$x = \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.3

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.4.2.4.2.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.4.2.4.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.4.2.4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{4 π - π}{2}$

단계 2.4.2.4.3.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.4.2.5

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.4.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.4.2.6

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.5

$\sin (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$\sin (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) + 1 = 0$

단계 2.5.2

$\sin (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$\sin (x) = - 1$

단계 2.5.2.2

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (- 1)$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 의 정확한 값은 $- \frac{π}{2}$ 입니다.

$x = - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.4

사인 함수는 제3사분면과 제4사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 해를 빼서 기준각을 찾습니다. 그리고 이 기준각에 $π$ 를 더하여 제3사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

단계 2.5.2.5

두 번째 해를 구하기 위하여 수식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

단계 2.5.2.5.2

결과 각인 $\frac{3 π}{2}$ 은 양의 값으로 $2 π$ 보다 작으며 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 과 양변을 공유하는 관계입니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.6

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.5.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.5.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.5.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.5.2.7

모든 음의 각에 $2 π$ 를 더하여 양의 각을 얻습니다.

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단계 2.5.2.7.1

$- \frac{π}{2}$ 에 $2 π$ 를 더하여 양의 각도를 구합니다.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

단계 2.5.2.7.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.7.3

분수를 통분합니다.

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단계 2.5.2.7.3.1

$2 π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

단계 2.5.2.7.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

단계 2.5.2.7.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.7.4.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 π - π}{2}$

단계 2.5.2.7.4.2

$4 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.7.5

새 각을 나열합니다.

$x = \frac{3 π}{2}$

단계 2.5.2.8

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.6

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{π}{2} + π n$

단계 3

원래 함수 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 을 $x = \frac{π}{2}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 3.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

단계 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

단계 3.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

단계 3.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{2}) = 3$

단계 3.2.3

최종 답은 $3$ 입니다.

$3$

단계 4

원래 함수 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 을 $x = \frac{π}{2} + π$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{π}{2} + π$ 을 대입합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.2

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.4.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.4.2

$π$ 를 $2 π$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.5

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.7

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.1.7.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

단계 4.2.1.8

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

단계 4.2.1.9

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

단계 4.2.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

단계 4.2.1.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.11.1

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

단계 4.2.1.11.2

$π$ 를 $2 π$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

단계 4.2.1.12

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

단계 4.2.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

단계 4.2.1.14

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

단계 4.2.1.15

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

단계 4.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 5

함수 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ 의 수평 접선은 $y = 3, y = - 1$ 입니다.

$y = 3, y = - 1$

단계 6