미적분 예제

$f (x) = x e^{- x}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.3.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.2

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3.3

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

단계 1.3.5

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

단계 1.4.2

$- e^{- x} x + e^{- x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- x e^{- x} + e^{- x}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

$- x e^{- x} + e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$- x e^{- x}$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

단계 2.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

단계 2.1.3

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ 에서 $e^{- x}$ 를 인수분해합니다.

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

단계 2.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

단계 2.3

$e^{- x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$e^{- x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- x} = 0$

단계 2.3.2

$e^{- x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.3.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

단계 2.3.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.3.2.3

$e^{- x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.4

$- x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$- x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- x + 1 = 0$

단계 2.4.2

$- x + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x = - 1$

단계 2.4.2.2

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$- x = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 1$

단계 2.5

$e^{- x} (- x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 1$

단계 3

원래 함수 $f (x) = x e^{- x}$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$e^{- (1)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = e^{- (1)}$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = e^{- 1}$

단계 3.2.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (1) = \frac{1}{e}$

단계 3.2.4

최종 답은 $\frac{1}{e}$ 입니다.

$\frac{1}{e}$

단계 4

함수 $f (x) = x e^{- x}$ 의 수평 접선은 $y = \frac{1}{e}$ 입니다.

$y = \frac{1}{e}$

단계 5