미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

단계 1

도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2

미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.2

$x^{2} + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.5

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$- x^{2} + 1 = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- x^{2} = - 1$

단계 2.2.2

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.2.2.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 2.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.2.3

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.2.4

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.2.5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.2.5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.2.5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.2.5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

단계 3.2.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{1}{2}$

단계 3.2.2

최종 답은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 4

원래 함수 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 을 $x = - 1$ 에서 풉니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

단계 4.2.1.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

단계 4.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 5

함수 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 의 수평 접선은 $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ 입니다.

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

단계 6