미적분 예제

$y = 5 x - x^{2}$

단계 1

$5 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = - x^{2} + 5 x$

단계 2

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

단계 3

도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 5 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.2.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 x + 5 \cdot 1$

단계 3.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 x + 5$

단계 4

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 2 x + 5 = 0$ 을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$- 2 x = - 5$

단계 4.2

$- 2 x = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$- 2 x = - 5$ 의 각 항을 $- 2$ 로 나눕니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$- 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

단계 4.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 5}{- 2}$

단계 4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x = \frac{5}{2}$

단계 5

원래 함수 $f (x) = - x^{2} + 5 x$ 을 $x = \frac{5}{2}$ 에서 풉니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

단계 5.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

단계 5.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

단계 5.2.1.4

$5 (\frac{5}{2})$ 을 곱합니다.

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단계 5.2.1.4.1

$5$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

단계 5.2.1.4.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{25}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 5.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.2.3.1

$\frac{25}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 5.2.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

단계 5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

단계 5.2.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.2.5.1

$25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

단계 5.2.5.2

$- 25$ 를 $50$ 에 더합니다.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

단계 5.2.6

최종 답은 $\frac{25}{4}$ 입니다.

$\frac{25}{4}$

단계 6

함수 $f (x) = - x^{2} + 5 x$ 의 수평 접선은 $y = \frac{25}{4}$ 입니다.

$y = \frac{25}{4}$

단계 7