미적분 예제

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.8

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.9

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.12

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.12.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1.1

$x$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.2

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.3

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1.3.1

$x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.1.3.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.1.4

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.3

$- x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.5.1.1

$x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.2.5.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.1.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.1.1.3

$- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.1.1.4

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.1.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.1.3

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.1

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ 에 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.2

조합합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.6

$- 2$ 와 $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.7

$x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.8

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.8.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.8.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.8.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.8.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.9

$x^{1} \cdot - 2$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.10

$x$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.11

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.11.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.13.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.3.11.2.4

$- x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.5

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.6

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.7

$- (x - 1)$ 을 $- 1 (x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 2.13.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 4

원래 함수 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ 을 $x = 1$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

단계 4.2.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = \frac{1}{2}$

단계 4.2.3

최종 답은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 5

함수 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ 의 수평 접선은 $y = \frac{1}{2}$ 입니다.

$y = \frac{1}{2}$

단계 6