미적분 예제

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.1.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.2.5

$\cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

단계 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 \sin (x)$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.1.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ 을 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1.1

$4 \cos^{2} (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2.1.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

단계 2.2.1.3

$- 2 \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

단계 2.2.1.4

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

단계 2.2.1.5

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

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단계 2.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 2.2.2.1.1

항을 다시 정렬합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 이고 합이 $b = - 1$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 2.2.2.1.2.1

$- \cos (x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2.2

$- 1$ 를 $1$ + $- 2$ 로 다시 씁니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.2.4

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 2.2.2.1.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.2.2.1.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

단계 2.2.2.1.4

최대공약수 $2 \cos (x) + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 2.4

$2 \cos (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$2 \cos (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 \cos (x) + 1 = 0$

단계 2.4.2

$2 \cos (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 \cos (x) = - 1$

단계 2.4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 2.4.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 2.4.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{2 π}{3}$

단계 2.4.2.5

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 2.4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 2.4.2.6.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 2.4.2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 2.4.2.6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 2.4.2.6.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 π}{3}$

단계 2.4.2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.4.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.4.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.4.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.4.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.4.2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 2.5

$\cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$\cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 2.5.2

$\cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$\cos (x) = 1$

단계 2.5.2.2

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (1)$

단계 2.5.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.3.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5.2.4

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - 0$

단계 2.5.2.5

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 2.5.2.6

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.6.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.5.2.6.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.6.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.5.2.6.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.5.2.7

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 2.6

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{2 π n}{3}$

단계 3

원래 함수 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 을 $x = \frac{2 π}{3}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1.1.1

$2$ 와 $\frac{2 π}{3}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 3.2.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 3.2.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.6.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 3.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 3.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

단계 3.2.1.7

$- 1 \sqrt{3}$ 을 $- \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

단계 3.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \sqrt{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.2.3

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

$- \sqrt{3}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

단계 3.2.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

단계 3.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

단계 3.2.4.2

$- \sqrt{3}$ 에서 $2 \sqrt{3}$ 을 뺍니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

단계 3.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 3.2.6

최종 답은 $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 4

함수 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ 의 수평 접선은 $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

소수 형태:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

단계 6