미적분 예제

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

단계 1

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + 2 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

단계 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \sin (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$1 + 2 \cos (x)$

단계 2

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 + 2 \cos (x) = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2 \cos (x) = - 1$

단계 2.2

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

단계 2.2.2.1.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

단계 2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

단계 2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

단계 2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{2 π}{3}$ 입니다.

$x = \frac{2 π}{3}$

단계 2.5

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

단계 2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 π$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 2.6.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.6.2.1

$2 π$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

단계 2.6.2.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

단계 2.6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.6.3.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

단계 2.6.3.2

$6 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$x = \frac{4 π}{3}$

단계 2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$

단계 3

원래 함수 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 을 $x = \frac{2 π}{3}$ 에서 풉니다.

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단계 3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{2 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

단계 3.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

단계 3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 3.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 3.2.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

단계 3.2.2

최종 답은 $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ 입니다.

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 을 $x = \frac{4 π}{3}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{4 π}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제3사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

단계 4.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.2.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

단계 4.2.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

단계 4.2.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

단계 4.2.2

최종 답은 $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ 입니다.

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

단계 5

함수 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ 의 수평 접선은 $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ 입니다.

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

단계 6