미적분 예제

$y = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 14 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 14 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 14 x^{2}$ 의 미분은 $- 14 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} - 14 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 14 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 14$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 28 x + \frac{d}{d x} [9 x]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 28 x + 9 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 28 x + 9 \cdot 1$

단계 2.3.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 28 x + 9$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 9 = 27$ 이고 합이 $b = - 28$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$- 28 x$ 에서 $- 28$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} - 28 x + 9 = 0$

단계 3.1.1.2

$- 28$ 를 $- 1$ + $- 27$ 로 다시 씁니다.

$3 x^{2} + (- 1 - 27) x + 9 = 0$

단계 3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} - 1 x - 27 x + 9 = 0$

단계 3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1 x) - 27 x + 9 = 0$

단계 3.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (3 x - 1) - 9 (3 x - 1) = 0$

단계 3.1.3

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x - 1 = 0$

$x - 9 = 0$

단계 3.3

$3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 1 = 0$

단계 3.3.2

$3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x = 1$

단계 3.3.2.2

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 3.4

$x - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 9 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$x = 9$

단계 3.5

$(3 x - 1) (x - 9) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, 9$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 을 $x = \frac{1}{3}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 {(\frac{1}{3})}^{2} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 \frac{1}{3^{2}} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 14 (\frac{1}{9}) + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.7

$- 14$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 9 (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.9.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 (3) (\frac{1}{3})$

단계 4.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3 \cdot (3 (\frac{1}{3}))$

단계 4.2.1.9.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14}{9} + 3$

단계 4.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{14}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{14}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

단계 4.2.2.2

$\frac{14}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 3$

단계 4.2.2.3

$3$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

단계 4.2.2.4

$\frac{3}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

단계 4.2.2.5

$\frac{3}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

단계 4.2.2.6

$9 \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

단계 4.2.2.7

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{14 \cdot 3}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

단계 4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 14 \cdot 3 + 3 \cdot 27}{27}$

단계 4.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$- 14$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 3 \cdot 27}{27}$

단계 4.2.4.2

$3$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 42 + 81}{27}$

단계 4.2.5

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$1$ 에서 $42$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 41 + 81}{27}$

단계 4.2.5.2

$- 41$ 를 $81$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

단계 4.2.6

최종 답은 $\frac{40}{27}$ 입니다.

$\frac{40}{27}$

단계 5

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 을 $x = 9$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $9$ 을 대입합니다.

$f (9) = {(9)}^{3} - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$9$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (9) = 729 - 14 {(9)}^{2} + 9 (9)$

단계 5.2.1.2

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (9) = 729 - 14 \cdot 81 + 9 (9)$

단계 5.2.1.3

$- 14$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f (9) = 729 - 1134 + 9 (9)$

단계 5.2.1.4

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (9) = 729 - 1134 + 81$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$729$ 에서 $1134$ 을 뺍니다.

$f (9) = - 405 + 81$

단계 5.2.2.2

$- 405$ 를 $81$ 에 더합니다.

$f (9) = - 324$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 324$ 입니다.

$- 324$

단계 6

함수 $f (x) = x^{3} - 14 x^{2} + 9 x$ 의 수평 접선은 $y = \frac{40}{27}, y = - 324$ 입니다.

$y = \frac{40}{27}, y = - 324$

단계 7