미적분 예제

$y = x + \sin (x y)$

단계 1

방정식의 양변을 미분합니다.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

단계 2

$y$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $y'$ 입니다.

$y'$

단계 3

방정식의 우변을 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

합의 법칙에 의해 $x + \sin (x y)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

단계 3.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x y$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.1.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.1.3

$u$ 를 모두 $x y$ 로 바꿉니다.

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = y$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ 을 $y'$ 로 바꿔 씁니다.

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

단계 3.2.5

$y$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

단계 3.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

단계 3.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

단계 4

좌변이 우변과 같도록 방정식을 고칩니다.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

단계 5

$y'$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

단계 5.2

방정식의 양변에서 $x y' \cos (x y)$ 를 뺍니다.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

단계 5.3

$y' - x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

${y'}^{1}$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

단계 5.3.2

$- x y' \cos (x y)$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

단계 5.3.3

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ 에서 $y'$ 를 인수분해합니다.

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

단계 5.4

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ 의 각 항을 $1 - x \cos (x y)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ 의 각 항을 $1 - x \cos (x y)$ 로 나눕니다.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

단계 5.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

$1 - x \cos (x y)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

단계 5.4.2.1.2

$y'$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

단계 5.4.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

단계 6

$y'$ 에 $\frac{d y}{d x}$ 를 대입합니다.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

단계 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ 으로 두고 $y$ 로 표현된 $x$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분자가 0과 같게 만듭니다.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

단계 7.2

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$y \cos (x y) = - 1$

단계 7.2.2

$y \cos (x y) = - 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$y \cos (x y) = - 1$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

단계 7.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

단계 7.2.2.2.1.2

$\cos (x y)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

단계 7.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

단계 7.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

단계 7.2.4

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ 의 각 항을 $y$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.1

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ 의 각 항을 $y$ 로 나눕니다.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

단계 7.2.4.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.2.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

단계 7.2.4.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

단계 8

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$y$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

단계 8.1.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

단계 8.1.1.2

평면에 $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arccos (- \frac{1}{y})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ 는 $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ 입니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

단계 8.1.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

단계 8.1.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = - \frac{1}{y}$ 입니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.5

$- - \frac{1}{y}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.5.2

$\frac{1}{y}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

단계 8.1.1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

단계 8.1.1.10

$\frac{y - 1}{y}$ 에 $\frac{y + 1}{y}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

단계 8.1.1.11

$y$ 에 $y$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

단계 8.1.1.12

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.12.1

$(y - 1) (y + 1)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

단계 8.1.1.12.2

$y^{2}$ 에서 완전제곱인 $y^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

단계 8.1.1.12.3

분수 $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

단계 8.1.1.13

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

단계 8.1.1.14

$\frac{1}{y}$ 와 $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

단계 8.1.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

단계 8.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$y \approx 1.94368519$

단계 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

괄호를 제거합니다.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

단계 9.2

$\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$1$ 을 $1.94368519$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

단계 9.2.1.2

$- 1$ 에 $0.5144866$ 을 곱합니다.

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

단계 9.2.1.3

$\arccos (- 0.5144866)$ 의 값을 구합니다.

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

단계 9.2.2

$2.11120515$ 을 $1.94368519$ 로 나눕니다.

$x = 1.08618677$

단계 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ 인 점을 구합니다.

$(1.08618677, 1.94368519)$

단계 11