미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{2}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 20$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 16 x - 20$ 입니다.

$3 x^{2} - 16 x - 20$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

단계 2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = 3$ , $b = - 16$ , $c = - 20$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.2.2

$- 12$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.3

$256$ 를 $240$ 에 더합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.4

$496$ 을 $4^{2} \cdot 31$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.4.1

$496$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

단계 2.4.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.2.2

$- 12$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.3

$256$ 를 $240$ 에 더합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.4

$496$ 을 $4^{2} \cdot 31$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

$496$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

단계 2.5.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 2.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$- 16$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.2.2

$- 12$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.3

$256$ 를 $240$ 에 더합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.4

$496$ 을 $4^{2} \cdot 31$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.4.1

$496$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.4.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

단계 2.6.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 2.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 2.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ 입니다.

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.0451763$ 을 대입합니다.

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2.0451763$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

단계 5.2.1.2

$3$ 에 $4.18274609$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

단계 5.2.1.3

$- 16$ 에 $- 2.0451763$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$12.54823829$ 를 $32.7228208$ 에 더합니다.

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

단계 5.2.2.2

$45.27105909$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

단계 5.2.3

최종 답은 $25.27105909$ 입니다.

$25.27105909$

단계 5.3

$x = - 2.0451763$ 에서의 도함수는 $25.27105909$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ 에서 증가함

단계 6

$(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.6666666$ 을 대입합니다.

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$2.6666666$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

단계 6.2.1.2

$3$ 에 $7.11111075$ 을 곱합니다.

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

단계 6.2.1.3

$- 16$ 에 $2.6666666$ 을 곱합니다.

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

단계 6.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$21.33333226$ 에서 $42.6666656$ 을 뺍니다.

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

단계 6.2.2.2

$- 21.\overline{3}$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 41.\overline{3}$ 입니다.

$- 41.\overline{3}$

단계 6.3

$x = 2.6666666$ 에서의 도함수는 $- 41.\overline{3}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7.3785095$ 을 대입합니다.

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$7.3785095$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

단계 7.2.1.2

$3$ 에 $54.44240244$ 을 곱합니다.

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

단계 7.2.1.3

$- 16$ 에 $7.3785095$ 을 곱합니다.

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

단계 7.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$163.32720732$ 에서 $118.056152$ 을 뺍니다.

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

단계 7.2.2.2

$45.27105532$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

단계 7.2.3

최종 답은 $25.27105532$ 입니다.

$25.27105532$

단계 7.3

$x = 7.3785095$ 에서의 도함수는 $25.27105532$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$

단계 9