미적분 예제

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 x^{2}$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 15$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 36$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 36 x$ 의 미분은 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \frac{d}{d x} x$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36 \cdot 1$

단계 1.1.4.3

$- 36$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x - 36$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6 x^{2} - 30 x - 36$ 입니다.

$6 x^{2} - 30 x - 36$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$6 x^{2} - 30 x - 36 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$6 x^{2} - 30 x - 36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$6 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) - 30 x - 36 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 30 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) - 36 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 36$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

단계 2.2.1.4

$6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6 = 0$

단계 2.2.1.5

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot - 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (x^{2} - 5 x - 6) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 5 x - 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 6, 1$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$6 ((x - 6) (x + 1)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (x - 6) (x + 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 6 = 0$

$x + 1 = 0$

단계 2.4

$x - 6$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 6$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 6 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $6$ 를 더합니다.

$x = 6$

단계 2.5

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 2.6

$6 (x - 6) (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 6, - 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $6, - 1$ 입니다.

$6, - 1$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 6) \cup (6, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 30 \cdot - 2 - 36$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 30 \cdot - 2 - 36$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 24 - 30 \cdot - 2 - 36$

단계 5.2.1.3

$- 30$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = 24 + 60 - 36$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$24$ 를 $60$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = 84 - 36$

단계 5.2.2.2

$84$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$f' (- 2) = 48$

단계 5.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 5.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $48$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 1, 6)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{5}{2}$ 을 대입합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 {(\frac{5}{2})}^{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$\frac{5}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{5^{2}}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.2

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{2^{2}}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 6 (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.4.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 (3) (\frac{25}{4}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.4.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.4.3

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{25}{2 \cdot 2})) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.4.4

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{5}{2}) = 3 (\frac{25}{2}) - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.5

$3$ 와 $\frac{25}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{3 \cdot 25}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.6

$3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 30 (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.7

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.7.1

$- 30$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 (- 15) (\frac{5}{2}) - 36$

단계 6.2.1.7.2

공약수로 약분합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + 2 \cdot (- 15 (\frac{5}{2})) - 36$

단계 6.2.1.7.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 15 \cdot 5 - 36$

단계 6.2.1.8

$- 15$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} - 75 - 36$

단계 6.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 75$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} - 36$

단계 6.2.2.2

$\frac{- 75}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75}{1} \cdot \frac{2}{2} - 36$

단계 6.2.2.3

$\frac{- 75}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} - 36$

단계 6.2.2.4

$- 36$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1}$

단계 6.2.2.5

$\frac{- 36}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36}{1} \cdot \frac{2}{2}$

단계 6.2.2.6

$\frac{- 36}{1}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75}{2} + \frac{- 75 \cdot 2}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 75 \cdot 2 - 36 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$- 75$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 36 \cdot 2}{2}$

단계 6.2.4.2

$- 36$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{75 - 150 - 72}{2}$

단계 6.2.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.5.1

$75$ 에서 $150$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 75 - 72}{2}$

단계 6.2.5.2

$- 75$ 에서 $72$ 을 뺍니다.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 147}{2}$

단계 6.2.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (\frac{5}{2}) = - \frac{147}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $- \frac{147}{2}$ 입니다.

$- \frac{147}{2}$

단계 6.3

$x = \frac{5}{2}$ 에서의 도함수는 $- \frac{147}{2}$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 1, 6)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 6)$ 에서 감소함

단계 7

$(6, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f' (7) = 6 {(7)}^{2} - 30 \cdot 7 - 36$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (7) = 6 \cdot 49 - 30 \cdot 7 - 36$

단계 7.2.1.2

$6$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$f' (7) = 294 - 30 \cdot 7 - 36$

단계 7.2.1.3

$- 30$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f' (7) = 294 - 210 - 36$

단계 7.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$294$ 에서 $210$ 을 뺍니다.

$f' (7) = 84 - 36$

단계 7.2.2.2

$84$ 에서 $36$ 을 뺍니다.

$f' (7) = 48$

단계 7.2.3

최종 답은 $48$ 입니다.

$48$

단계 7.3

$x = 7$ 에서의 도함수는 $48$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(6, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(6, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - 1), (6, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- 1, 6)$

단계 9