미적분 예제

$f (x) = x - x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

단계 1.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

단계 1.1.3

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 1$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 1$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 1 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 3 x^{2} = - 1$

단계 2.3

$- 3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$- 3 x^{2} = - 1$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$x^{2} = \frac{1}{3}$

단계 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

단계 2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 2.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 2.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 2.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 2.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 2.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 2.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.57735026$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1.57735026$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

단계 5.2.1.2

$- 3$ 에 $2.48803384$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

단계 5.2.2

$- 7.46410152$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 6.46410152$ 입니다.

$- 6.46410152$

단계 5.3

$x = - 1.57735026$ 에서의 도함수는 $- 6.46410152$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

단계 6.2.1.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 1$

단계 6.2.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 에서 증가함

단계 7

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.57735026$ 을 대입합니다.

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.2.1.1

$1.57735026$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

단계 7.2.1.2

$- 3$ 에 $2.48803384$ 을 곱합니다.

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

단계 7.2.2

$- 7.46410152$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 6.46410152$ 입니다.

$- 6.46410152$

단계 7.3

$x = 1.57735026$ 에서의 도함수는 $- 6.46410152$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

단계 9