미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 8 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

단계 1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x^{3}$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - 8 (3 x^{2})$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$6 x - 24 x^{2}$

단계 1.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 24 x^{2} + 6 x$ 입니다.

$- 24 x^{2} + 6 x$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

단계 2.2

$- 24 x^{2} + 6 x$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$- 24 x^{2}$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

단계 2.2.2

$6 x$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

단계 2.2.3

$- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ 에서 $- 6 x$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

단계 2.4

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 2.5

$4 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.5.1

$4 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$4 x - 1 = 0$

단계 2.5.2

$4 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$4 x = 1$

단계 2.5.2.2

$4 x = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.1

$4 x = 1$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{4}$

단계 2.6

$- 6 x (4 x - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{1}{4}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $0, \frac{1}{4}$ 입니다.

$0, \frac{1}{4}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

단계 5.2.1.2

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

단계 5.2.1.3

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 1) = - 24 - 6$

단계 5.2.2

$- 24$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f' (- 1) = - 30$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 30$ 입니다.

$- 30$

단계 5.3

$x = - 1$ 에서의 도함수는 $- 30$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, \frac{1}{4})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.125$ 을 대입합니다.

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$0.125$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

단계 6.2.1.2

$- 24$ 에 $0.015625$ 을 곱합니다.

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

단계 6.2.1.3

$6$ 에 $0.125$ 을 곱합니다.

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

단계 6.2.2

$- 0.375$ 를 $0.75$ 에 더합니다.

$f' (0.125) = 0.375$

단계 6.2.3

최종 답은 $0.375$ 입니다.

$0.375$

단계 6.3

$x = 0.125$ 에서의 도함수는 $0.375$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(0, \frac{1}{4})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(0, \frac{1}{4})$ 에서 증가함

단계 7

$(\frac{1}{4}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.25$ 을 대입합니다.

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$1.25$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

단계 7.2.1.2

$- 24$ 에 $1.5625$ 을 곱합니다.

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $1.25$ 을 곱합니다.

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

단계 7.2.2

$- 37.5$ 를 $7.5$ 에 더합니다.

$f' (1.25) = - 30$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 30$ 입니다.

$- 30$

단계 7.3

$x = 1.25$ 에서의 도함수는 $- 30$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{1}{4}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{1}{4}, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(0, \frac{1}{4})$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$

단계 9