미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{3} x^{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2.3

$3$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.1.2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.2.5.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} - 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.4.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [20]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$20$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $20$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $20$ 입니다.

$x^{2} - 6 x + 9 + 0$

단계 1.1.5.2

$x^{2} - 6 x + 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $x^{2} - 6 x + 9$ 입니다.

$x^{2} - 6 x + 9$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$

단계 2.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 2.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x^{2} - 6 x + 3^{2} = 0$

단계 2.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

단계 2.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = 0$

단계 2.2.4

$a = x$ 이고 $b = 3$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

${(x - 3)}^{2} = 0$

단계 2.3

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.4

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $3$ 입니다.

$3$

단계 4

도함수 $f' (x) = x^{2} - 6 x + 9$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 20$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 3)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

단계 5.2.1.2

$- 6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = 4 - 12 + 9$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.2.1

$4$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - 8 + 9$

단계 5.2.2.2

$- 8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (2) = 1$

단계 5.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 5.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 3)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 3)$ 에서 증가함

단계 6

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 9$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 9$

단계 6.2.1.2

$- 6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (4) = 16 - 24 + 9$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.2.1

$16$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f' (4) = - 8 + 9$

단계 6.2.2.2

$- 8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f' (4) = 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.3

$x = 4$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

단계 8