미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = 1 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$1 - x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $1 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.7

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.7.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.9

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.9.1

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.9.2

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.9.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.9.3.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

단계 1.1.2.9.3.2

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(- x + 1)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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단계 4.2.1.1

$- x + 1$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.2.1.1.1

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

단계 4.2.1.1.2

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

단계 4.2.1.1.3

$- (x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

단계 4.2.1.2

$- (x - 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

단계 4.2.2

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 ${(- 1)}^{2}$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ 의 각 항을 ${(- 1)}^{2}$ 로 나눕니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

단계 4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

단계 4.2.2.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

단계 4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.3.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

단계 4.2.2.3.2

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 4.2.3

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 4.2.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

단계 6.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (0) = \frac{1}{1}$

단계 6.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (0) = 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 증가함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

단계 7.2.1.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 7.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (2) = \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (2) = 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 7.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $1$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

단계 9