미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x - 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.4.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.2.6.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{2} = 0$

단계 4.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 4.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 5

도함수 $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{{((0) - 1)}^{2}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (0) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

단계 6.2.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

단계 6.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 6.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

단계 6.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

단계 6.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = - 1$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f' (2) = - \frac{1}{{((2) - 1)}^{2}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f' (2) = - \frac{1}{1^{2}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (2) = - \frac{1}{1}$

단계 7.2.2.1.2

수식을 다시 씁니다.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

단계 7.2.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (2) = - 1$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 7.3

$x = 2$ 에서의 도함수는 $- 1$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

다음 구간에서 감소: $(- \infty, 1), (1, \infty)$

단계 9