미적분 예제

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

단계 1.1.4.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

단계 1.1.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ 입니다.

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

단계 2.2

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 2.3

이차함수의 근의 공식에 $a = - 3$ , $b = 6$ , $c = 4$ 을 대입하여 $x$ 를 구합니다.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.2.1

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.2.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.3

$36$ 를 $48$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.4

$84$ 을 $2^{2} \cdot 21$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1.4.1

$84$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.4.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

단계 2.4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

단계 2.5

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.2.1

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.2.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.3

$36$ 를 $48$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.4

$84$ 을 $2^{2} \cdot 21$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

$84$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.5.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

단계 2.5.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

단계 2.5.4

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

단계 2.6

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.1

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.2.1

$- 4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.2.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.3

$36$ 를 $48$ 에 더합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.4

$84$ 을 $2^{2} \cdot 21$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1.4.1

$84$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

단계 2.6.2

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

단계 2.6.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ 을 간단히 합니다.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

단계 2.6.4

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

단계 2.7

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ 입니다.

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

단계 4

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.52752525$ 을 대입합니다.

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1.52752525$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

단계 5.2.1.2

$- 3$ 에 $2.33333338$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

단계 5.2.1.3

$6$ 에 $- 1.52752525$ 을 곱합니다.

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 7.00000016$ 에서 $9.1651515$ 을 뺍니다.

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

단계 5.2.2.2

$- 16.16515166$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 12.16515166$ 입니다.

$- 12.16515166$

단계 5.3

$x = - 1.52752525$ 에서의 도함수는 $- 12.16515166$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ 에서 감소함

단계 6

$(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.99999997$ 을 대입합니다.

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0.99999997$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

단계 6.2.1.2

$- 3$ 에 $0.99999995$ 을 곱합니다.

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

단계 6.2.1.3

$6$ 에 $0.99999997$ 을 곱합니다.

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

단계 6.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$- 2.99999985$ 를 $5.99999985$ 에 더합니다.

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

단계 6.2.2.2

$3$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (0.99999997) = 7$

단계 6.2.3

최종 답은 $7$ 입니다.

$7$

단계 6.3

$x = 0.99999997$ 에서의 도함수는 $7$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ 에서 증가함

단계 7

$(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.5275252$ 을 대입합니다.

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$3.5275252$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

단계 7.2.1.2

$- 3$ 에 $12.44343403$ 을 곱합니다.

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

단계 7.2.1.3

$6$ 에 $3.5275252$ 을 곱합니다.

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

단계 7.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$- 37.3303021$ 를 $21.1651512$ 에 더합니다.

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

단계 7.2.2.2

$- 16.1651509$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 12.1651509$ 입니다.

$- 12.1651509$

단계 7.3

$x = 3.5275252$ 에서의 도함수는 $- 12.1651509$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ 에서 감소함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

단계 9