미적분 예제

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.1.1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.1.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x + 1}{x - 1}$ 로 바꿉니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

단계 1.1.2

$f (x) = x + 1$ , $g (x) = x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.4.2

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.5

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.7

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.1.3.8.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.8.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

단계 1.1.3.8.4

$x - 1 - (x + 1)$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

단계 1.1.4

간단히 합니다.

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단계 1.1.4.1

$\frac{x + 1}{x - 1}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4

항을 묶습니다.

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단계 1.1.4.4.1

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.2

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.4

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.5

$7 x$ 에서 $7 x$ 을 뺍니다.

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.6

$0$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.7

$- 7$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

단계 1.1.4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ 에 $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

단계 1.1.4.4.10

지수를 더하여 ${(x - 1)}^{6}$ 에 ${(x - 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.4.4.10.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

단계 1.1.4.4.10.2

$6$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

단계 1.1.4.4.11

${(x + 1)}^{6}$ 의 왼쪽으로 $14$ 이동하기

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ 입니다.

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

단계 2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.3.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ 의 각 항을 $14$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ 의 각 항을 $14$ 로 나눕니다.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

단계 2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.2.1

$14$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

단계 2.3.1.2.1.2

${(x + 1)}^{6}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

단계 2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.3.1

$0$ 을 $14$ 로 나눕니다.

${(x + 1)}^{6} = 0$

단계 2.3.2

$x + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 1 = 0$

단계 2.3.3

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 3.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 1)}^{8} = 0$

단계 3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.2.1

$x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 1 = 0$

단계 3.2.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$x = 1$

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ 을 구합니다.

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단계 4.1

$x = - 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.1.1

$x$ 에 $- 1$ 를 대입합니다.

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

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단계 4.1.2.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

단계 4.1.2.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

단계 4.1.2.3

$0$ 을 $- 2$ 로 나눕니다.

$0^{7}$

단계 4.1.2.4

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0$

단계 4.2

$x = 1$ 일 때 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$x$ 에 $1$ 를 대입합니다.

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

단계 4.2.2.2

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 1, 0)$

단계 5