미적분 예제

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $15 x^{4} - 90 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x^{4}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

단계 1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

단계 1.1.2.3

$4$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 90 x^{2})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 90 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 90$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 90 x^{2}$ 의 미분은 $- 90 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 \frac{d}{d x} x^{2}$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 60 x^{3} - 90 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 90$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 60 x^{3} - 180 x$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $60 x^{3} - 180 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 180 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $60 x^{3}$ 의 미분은 $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

단계 1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

단계 1.2.2.3

$3$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 180 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 180$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 180 x$ 의 미분은 $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \frac{d}{d x} x$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180 \cdot 1$

단계 1.2.3.3

$- 180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 180 x^{2} - 180$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $180 x^{2} - 180$ 입니다.

$180 x^{2} - 180$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $180 x^{2} - 180 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$180 x^{2} - 180 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에 $180$ 를 더합니다.

$180 x^{2} = 180$

단계 2.3

$180 x^{2} = 180$ 의 각 항을 $180$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$180 x^{2} = 180$ 의 각 항을 $180$ 로 나눕니다.

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$180$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{180 x^{2}}{180} = \frac{180}{180}$

단계 2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{180}{180}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$180$ 을 $180$ 로 나눕니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 15 {(1)}^{4} - 90 {(1)}^{2}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 15 \cdot 1 - 90 {(1)}^{2}$

단계 3.1.2.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 15 - 90 {(1)}^{2}$

단계 3.1.2.1.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (1) = 15 - 90 \cdot 1$

단계 3.1.2.1.4

$- 90$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = 15 - 90$

단계 3.1.2.2

$15$ 에서 $90$ 을 뺍니다.

$f (1) = - 75$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $- 75$ 입니다.

$- 75$

단계 3.2

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ 에 $1$ 을 대입하여 구한 점은 $(1, - 75)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(1, - 75)$

단계 3.3

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 90 {(- 1)}^{2}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = 15 \cdot 1 - 90 {(- 1)}^{2}$

단계 3.3.2.1.2

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 15 - 90 {(- 1)}^{2}$

단계 3.3.2.1.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (- 1) = 15 - 90 \cdot 1$

단계 3.3.2.1.4

$- 90$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 15 - 90$

단계 3.3.2.2

$15$ 에서 $90$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 75$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $- 75$ 입니다.

$- 75$

단계 3.4

$f (x) = 15 x^{4} - 90 x^{2}$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, - 75)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, - 75)$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(1, - 75), (- 1, - 75)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = 180 {(- 1.1)}^{2} - 180$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

단계 5.2.1.2

$180$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 217.8 - 180$

단계 5.2.2

$217.8$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.1) = 37.8$

단계 5.2.3

최종 답은 $37.8$ 입니다.

$37.8$

단계 5.3

$- 1.1$ 에서의 이계도함수는 $37.8$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

단계 6

$(- 1, 1)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 180 {(0)}^{2} - 180$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 180 \cdot 0 - 180$

단계 6.2.1.2

$180$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 180$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 180$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 180$ 입니다.

$- 180$

단계 6.3

$0$ 에서의 2차 미분값은 $- 180$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- 1, 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 1)$ 에서 감소함

단계 7

$(1, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (1.1) = 180 {(1.1)}^{2} - 180$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (1.1) = 180 \cdot 1.21 - 180$

단계 7.2.1.2

$180$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (1.1) = 217.8 - 180$

단계 7.2.2

$217.8$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f'' (1.1) = 37.8$

단계 7.2.3

최종 답은 $37.8$ 입니다.

$37.8$

단계 7.3

$1.1$ 에서의 이계도함수는 $37.8$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 75), (1, - 75)$ .

$(- 1, - 75), (1, - 75)$

단계 9