미적분 예제

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 53]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 53)$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 53$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 53$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 53$ 입니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

단계 1.1.4.2

$- 3 x^{2} + 18 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x^{2} + 18 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x)$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x^{2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x)$

단계 1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (18 x)$

단계 1.2.2.3

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (18 x)$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [18 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$18$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $18 x$ 의 미분은 $18 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = - 6 x + 18 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 18 \cdot 1$

단계 1.2.3.3

$18$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = - 6 x + 18$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- 6 x + 18$ 입니다.

$- 6 x + 18$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- 6 x + 18 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- 6 x + 18 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $18$ 를 뺍니다.

$- 6 x = - 18$

단계 2.3

$- 6 x = - 18$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- 6 x = - 18$ 의 각 항을 $- 6$ 로 나눕니다.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$- 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 18}{- 6}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 18}{- 6}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 18$ 을 $- 6$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 에 $3$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = - {(3)}^{3} + 9 {(3)}^{2} - 53$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (3) = - 1 \cdot 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

단계 3.1.2.1.2

$- 1$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$f (3) = - 27 + 9 {(3)}^{2} - 53$

단계 3.1.2.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (3) = - 27 + 9 \cdot 9 - 53$

단계 3.1.2.1.4

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (3) = - 27 + 81 - 53$

단계 3.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1.2.2.1

$- 27$ 를 $81$ 에 더합니다.

$f (3) = 54 - 53$

단계 3.1.2.2.2

$54$ 에서 $53$ 을 뺍니다.

$f (3) = 1$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

단계 3.2

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 53$ 에 $3$ 을 대입하여 구한 점은 $(3, 1)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(3, 1)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 3)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $2.9$ 을 대입합니다.

$f'' (2.9) = - 6 \cdot 2.9 + 18$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 6$ 에 $2.9$ 을 곱합니다.

$f'' (2.9) = - 17.4 + 18$

단계 5.2.2

$- 17.4$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (2.9) = 0.6$

단계 5.2.3

최종 답은 $0.6$ 입니다.

$0.6$

단계 5.3

$2.9$ 에서의 이계도함수는 $0.6$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(- \infty, 3)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 3)$ 에서 증가함

단계 6

$(3, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3.1$ 을 대입합니다.

$f'' (3.1) = - 6 \cdot 3.1 + 18$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$- 6$ 에 $3.1$ 을 곱합니다.

$f'' (3.1) = - 18.6 + 18$

단계 6.2.2

$- 18.6$ 를 $18$ 에 더합니다.

$f'' (3.1) = - 0.6$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 0.6$ 입니다.

$- 0.6$

단계 6.3

$3.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.6$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(3, \infty)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(3, \infty)$ 에서 감소함

단계 7

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(3, 1)$ 입니다.

$(3, 1)$

단계 8