미적분 예제

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

단계 1

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

단계 2

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 51$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 51 x^{2}$ 의 미분은 $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 51$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 180 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

$- 180$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 180 x$ 의 미분은 $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.4.3

$- 180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

단계 2.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

단계 2.1.5.2

$12 x^{2} - 102 x - 180$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

단계 2.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $12 x^{2} - 102 x - 180$ 입니다.

$12 x^{2} - 102 x - 180$

단계 3

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

단계 3.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$12 x^{2} - 102 x - 180$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

$12 x^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

단계 3.2.1.2

$- 102 x$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

단계 3.2.1.3

$- 180$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

단계 3.2.1.4

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

단계 3.2.1.5

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

단계 3.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ 이고 합이 $b = - 17$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.1.1

$- 17 x$ 에서 $- 17$ 를 인수분해합니다.

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

단계 3.2.2.1.1.2

$- 17$ 를 $3$ + $- 20$ 로 다시 씁니다.

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

단계 3.2.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

단계 3.2.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

단계 3.2.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

단계 3.2.2.1.3

최대공약수 $2 x + 3$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

단계 3.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

단계 3.4

$2 x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$2 x + 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$2 x + 3 = 0$

단계 3.4.2

$2 x + 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$2 x = - 3$

단계 3.4.2.2

$2 x = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.1

$2 x = - 3$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

단계 3.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{2}$

단계 3.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{3}{2}$

단계 3.5

$x - 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$x - 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 10 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x = 10$

단계 3.6

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{3}{2}, 10$

단계 4

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- \frac{3}{2}, 10$ 입니다.

$- \frac{3}{2}, 10$

단계 5

미분값이 $0$ 또는 정의되지 않게 하는 $x$ 값 주변 구간으로 $(- \infty, \infty)$ 을 나눕니다.

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - \frac{3}{2})$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2.5$ 을 대입합니다.

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 2.5$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

단계 6.2.1.2

$12$ 에 $6.25$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

단계 6.2.1.3

$- 102$ 에 $- 2.5$ 을 곱합니다.

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$75$ 를 $255$ 에 더합니다.

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

단계 6.2.2.2

$330$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f' (- 2.5) = 150$

단계 6.2.3

최종 답은 $150$ 입니다.

$150$

단계 6.3

$x = - 2.5$ 에서의 도함수는 $150$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ 에서 증가함

단계 7

$(- 1.5, 10)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4.25$ 을 대입합니다.

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$4.25$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

단계 7.2.1.2

$12$ 에 $18.0625$ 을 곱합니다.

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

단계 7.2.1.3

$- 102$ 에 $4.25$ 을 곱합니다.

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

단계 7.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$216.75$ 에서 $433.5$ 을 뺍니다.

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

단계 7.2.2.2

$- 216.75$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f' (4.25) = - 396.75$

단계 7.2.3

최종 답은 $- 396.75$ 입니다.

$- 396.75$

단계 7.3

$x = 4.25$ 에서의 도함수는 $- 396.75$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- 1.5, 10)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \frac{3}{2}, 10)$ 에서 감소함

단계 8

$(10, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $11$ 을 대입합니다.

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$11$ 를 $2$ 승 합니다.

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

단계 8.2.1.2

$12$ 에 $121$ 을 곱합니다.

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

단계 8.2.1.3

$- 102$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

단계 8.2.2

숫자를 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$1452$ 에서 $1122$ 을 뺍니다.

$f' (11) = 330 - 180$

단계 8.2.2.2

$330$ 에서 $180$ 을 뺍니다.

$f' (11) = 150$

단계 8.2.3

최종 답은 $150$ 입니다.

$150$

단계 8.3

$x = 11$ 에서의 도함수는 $150$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(10, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(10, \infty)$ 에서 증가함

단계 9

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \frac{3}{2}, 10)$

단계 10