미적분 예제

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.2.3

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$- 45$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 45 x^{2}$ 의 미분은 $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.3.3

$2$ 에 $- 45$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

단계 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [150 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.4.1

$150$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $150 x$ 의 미분은 $150 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

단계 1.1.1.4.3

$150$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} - 90 x + 150$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 90 x] + \frac{d}{d x} [150]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 90 x) + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 90 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 90$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 90 x$ 의 미분은 $- 90 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x - 90 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 24 x - 90 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.3.3

$- 90$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 24 x - 90 + \frac{d}{d x} (150)$

단계 1.1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$150$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $150$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $150$ 입니다.

$f'' (x) = 24 x - 90 + 0$

단계 1.1.2.4.2

$24 x - 90$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x - 90$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $24 x - 90$ 입니다.

$24 x - 90$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $24 x - 90 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$24 x - 90 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $90$ 를 더합니다.

$24 x = 90$

단계 1.2.3

$24 x = 90$ 의 각 항을 $24$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$24 x = 90$ 의 각 항을 $24$ 로 나눕니다.

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{24 x}{24} = \frac{90}{24}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{90}{24}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$90$ 및 $24$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.1

$90$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{6 (15)}{24}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.2.1

$24$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x = \frac{6 \cdot 15}{6 \cdot 4}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x = \frac{15}{4}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \frac{15}{4}) \cup (\frac{15}{4}, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \frac{15}{4})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 24 (0) - 90$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$24$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 90$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $90$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 90$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 90$ 입니다.

$- 90$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, \frac{15}{4})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, \frac{15}{4})$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(\frac{15}{4}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = 24 (6) - 90$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$24$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = 144 - 90$

단계 5.2.2

$144$ 에서 $90$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = 54$

단계 5.2.3

최종 답은 $54$ 입니다.

$54$

단계 5.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(\frac{15}{4}, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{15}{4}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, \frac{15}{4})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{15}{4}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7