미적분 예제

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 1

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x^{2}}{32}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

단계 2.1.1.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{32}$ 로 바꿉니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{32}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{32}$ 의 미분은 $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 와 $\frac{1}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.1.2.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

단계 2.1.1.2.4

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

단계 2.1.1.2.4.2

$- 2$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

단계 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

단계 2.1.1.2.4.4

$- 2$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.4.1

$- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

단계 2.1.1.2.4.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.4.2.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

단계 2.1.1.2.4.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

단계 2.1.1.2.4.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

단계 2.1.1.2.4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.5.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

단계 2.1.1.2.4.5.2

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$- \frac{1}{16}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 의 미분은 $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- \frac{x^{2}}{32}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $- \frac{x^{2}}{32}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4

미분합니다.

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단계 2.1.2.4.1

$- \frac{1}{32}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{2}}{32}$ 의 미분은 $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.2

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 와 $\frac{1}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4

분수를 통분합니다.

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단계 2.1.2.4.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4.2

$- 2$ 와 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 2.1.2.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2

$- 2$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.8.2.1

$- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.2.8.2.2.1

$32$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

단계 2.1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

단계 2.1.2.11

간단히 합니다.

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단계 2.1.2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2.1.2.11.2

항을 묶습니다.

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단계 2.1.2.11.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2.1.2.11.2.2

$\frac{1}{16}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2.1.2.11.2.3

$\frac{1}{16}$ 에 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2.1.2.11.2.4

$16$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

단계 2.1.2.11.2.5

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 입니다.

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

단계 2.2.2

방정식의 각 변을 그립니다. 해는 교점의 x값입니다.

$x = - 4, 4$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 6$ 을 대입합니다.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.2

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.3

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.4

$36$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.4.2.1

$32$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.5

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.6

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.6.1

$256 e^{\frac{9}{8}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 5.2.1.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

단계 5.2.1.8

$- 6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

단계 5.2.1.9

$36$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1.9.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

단계 5.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.9.2.1

$32$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

단계 5.2.1.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

단계 5.2.1.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 5.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

단계 5.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $64 e^{\frac{9}{8}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.2.3.1

$\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

단계 5.2.3.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 5.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 5.2.5

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 5.2.6

최종 답은 $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ 입니다.

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 5.3

$f'' (- 6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 4)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(- 4, 4)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.2.2

$0$ 을 $32$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.2.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.4

$0$ 을 $256$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.5

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

단계 6.2.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.6.1

$0$ 을 $32$ 로 나눕니다.

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

단계 6.2.1.6.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

단계 6.2.1.6.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

단계 6.2.2

$0$ 에서 $\frac{1}{16}$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

단계 6.2.3

최종 답은 $- \frac{1}{16}$ 입니다.

$- \frac{1}{16}$

단계 6.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 4, 4)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 4, 4)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(4, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $6$ 을 대입합니다.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.2

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.3

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.4

$36$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.4.2.1

$32$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.5

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.6.1

$256 e^{\frac{9}{8}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.6.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.6.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

단계 7.2.1.7

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

단계 7.2.1.8

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

단계 7.2.1.9

$36$ 및 $32$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.9.1

$36$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

단계 7.2.1.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.9.2.1

$32$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

단계 7.2.1.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

단계 7.2.1.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 7.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

단계 7.2.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $64 e^{\frac{9}{8}}$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

단계 7.2.3.2

$4$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 7.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 7.2.5

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 7.2.6

최종 답은 $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ 입니다.

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

단계 7.3

$f'' (6)$ 이 양수이므로 그래프는 $(4, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 4)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 4, 4)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(4, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9