미적분 예제

${(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 1

${(x^{2} - 1)}^{3}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 2.1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 2.1.1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

단계 2.1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.1.1.2.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

단계 2.1.1.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

단계 2.1.1.2.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

단계 2.1.1.2.4.3

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

단계 2.1.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.3

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.4.4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

단계 2.1.2.10

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 2.1.2.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 2.1.2.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

단계 2.1.2.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.4.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.4.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.2

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.3

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.4

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.5

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.4.6

$- 4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

단계 2.1.2.11.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ 을 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

단계 2.1.2.11.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

단계 2.1.2.11.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

단계 2.1.2.11.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.3.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.1.3

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.1.4

$- 1 x^{2}$ 을 $- x^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.1.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

단계 2.1.2.11.5.3.2

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

단계 2.1.2.11.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

단계 2.1.2.11.5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.11.5.5.1

$- 2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

단계 2.1.2.11.5.5.2

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

단계 2.1.2.11.6

$24 x^{4}$ 를 $6 x^{4}$ 에 더합니다.

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

단계 2.1.2.11.7

$- 24 x^{2}$ 에서 $12 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ 입니다.

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

단계 2.2.2

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2.2.3

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$30 u^{2} - 36 u + 6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1.1

$30 u^{2}$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

단계 2.2.3.1.2

$- 36 u$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

단계 2.2.3.1.3

$6$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

단계 2.2.3.1.4

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

단계 2.2.3.1.5

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

단계 2.2.3.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ 이고 합이 $b = - 6$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.1.1

$- 6 u$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

단계 2.2.3.2.1.1.2

$- 6$ 를 $- 1$ + $- 5$ 로 다시 씁니다.

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

단계 2.2.3.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

단계 2.2.3.2.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.2.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

단계 2.2.3.2.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

단계 2.2.3.2.1.3

최대공약수 $5 u - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

단계 2.2.3.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

단계 2.2.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

단계 2.2.5

$5 u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$5 u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$5 u - 1 = 0$

단계 2.2.5.2

$5 u - 1 = 0$ 을 $u$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$5 u = 1$

단계 2.2.5.2.2

$5 u = 1$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.1

$5 u = 1$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

단계 2.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

단계 2.2.5.2.2.2.1.2

$u$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u = \frac{1}{5}$

단계 2.2.6

$u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 2.2.6.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 2.2.7

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = \frac{1}{5}, 1$

단계 2.2.8

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 2.2.9

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = \frac{1}{5}$

단계 2.2.10

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.1

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

단계 2.2.10.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.2.1

$\sqrt{\frac{1}{5}}$ 을 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

단계 2.2.10.2.2

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

단계 2.2.10.2.3

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

단계 2.2.10.2.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

단계 2.2.10.2.4.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

단계 2.2.10.2.4.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

단계 2.2.10.2.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

단계 2.2.10.2.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

단계 2.2.10.2.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2.10.2.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.10.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.10.2.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.2.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

단계 2.2.10.2.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

단계 2.2.10.2.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

단계 2.2.10.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.10.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

단계 2.2.10.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

단계 2.2.10.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

단계 2.2.11

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 2.2.12

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.12.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 1$

단계 2.2.12.2

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 2.2.12.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 2.2.12.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.12.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 2.2.12.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 2.2.12.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 2.2.13

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ 의 해는 $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ 입니다.

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

단계 5.2.1.2

$30$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

단계 5.2.1.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

단계 5.2.1.4

$- 36$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$7680$ 에서 $576$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

단계 5.2.2.2

$7104$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f'' (- 4) = 7110$

단계 5.2.3

최종 답은 $7110$ 입니다.

$7110$

단계 5.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.72$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 0.72$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

단계 6.2.1.2

$30$ 에 $0.26873856$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

단계 6.2.1.3

$- 0.72$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

단계 6.2.1.4

$- 36$ 에 $0.5184$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

단계 6.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$8.0621568$ 에서 $18.6624$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

단계 6.2.2.2

$- 10.6002432$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 4.6002432$ 입니다.

$- 4.6002432$

단계 6.3

$f'' (- 0.72)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

단계 7.2.1.2

$30$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

단계 7.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

단계 7.2.1.4

$- 36$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

단계 7.2.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 0 + 6$

단계 7.2.2.2

$0$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 6$

단계 7.2.3

최종 답은 $6$ 입니다.

$6$

단계 7.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 에서 위로 오목함

단계 8

$(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.72$ 을 대입합니다.

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

단계 8.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1.1

$0.72$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

단계 8.2.1.2

$30$ 에 $0.26873856$ 을 곱합니다.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

단계 8.2.1.3

$0.72$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

단계 8.2.1.4

$- 36$ 에 $0.5184$ 을 곱합니다.

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

단계 8.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$8.0621568$ 에서 $18.6624$ 을 뺍니다.

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

단계 8.2.2.2

$- 10.6002432$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

단계 8.2.3

최종 답은 $- 4.6002432$ 입니다.

$- 4.6002432$

단계 8.3

$f'' (0.72)$ 이 음수이므로 그래프는 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 에서 아래로 오목함

단계 9

$(1, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

단계 9.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

단계 9.2.1.2

$30$ 에 $256$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

단계 9.2.1.3

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

단계 9.2.1.4

$- 36$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

단계 9.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.2.1

$7680$ 에서 $576$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 7104 + 6$

단계 9.2.2.2

$7104$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f'' (4) = 7110$

단계 9.2.3

최종 답은 $7110$ 입니다.

$7110$

단계 9.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(1, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 10

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(1, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 11