미적분 예제

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

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단계 1.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.2

$x^{2} + 9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.3

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.5

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.1.2.6.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.2.6.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.1.7

$x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

$f (x) = - x^{2} + 9$ , $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}}$

단계 1.1.2.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.2.1

${({(x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.2.2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.1.2.2.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.2

합의 법칙에 의해 $- x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (9)) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.6

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.2.7

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 9$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 9) (2 (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4

미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + \frac{d}{d x} (9)))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.4

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.4.5.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) (2 x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.5.2

$x^{2} + 9$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 9) (2 \cdot ((x^{2} + 9) x))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.4.5.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5

간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) ((x^{2} + 9) x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 9)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 9)}^{2}$ 을 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 를 전개합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.4.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $9$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.1.3

$9$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.4.2

$9 x^{2}$ 를 $9 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (18 x^{2}) - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.6.1

$18$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 2 \cdot 81) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.6.2

$- 2$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 36 x^{2} - 162) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.7

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.1.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{2} x - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 (x \cdot x^{2}) - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{1 + 2} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.8.2.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.9.1

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 9) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.9.2

$- 4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2} x + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{2 + 1} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.10.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + (4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11

FOIL 계산법을 이용하여 $(4 x^{2} - 36) (x^{3} + 9 x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} (x^{3} + 9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 (x^{3} + 9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.11.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.1

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (9 x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{2} x) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 (x \cdot x^{2})) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{1 + 2}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (9 x^{3}) - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.4

$4$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 36 (9 x)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.1.5

$9$ 에 $- 36$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 36 x^{3} - 36 x^{3} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.2

$36 x^{3}$ 에서 $36 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} + 0 - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x + 4 x^{5} - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ 를 $4 x^{5}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 162 x - 324 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.3.3

$- 162 x$ 에서 $324 x$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.1

$2 x^{5} - 36 x^{3} - 486 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.1.1

$2 x^{5}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 36 x^{3} - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.2

$- 36 x^{3}$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) - 486 x}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.3

$- 486 x$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.4

$2 x (x^{4}) + 2 x (- 18 x^{2})$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.1.5

$2 x (x^{4} - 18 x^{2}) + 2 x (- 243)$ 에서 $2 x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.2

$x^{4}$ 을 ${(x^{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 18 x^{2} - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $x^{2}$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 18 u - 243)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.4

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 18 u - 243$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 243$ 이고 합은 $- 18$ 입니다.

$- 27, 9$

단계 1.1.2.5.4.4.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 27) (u + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.4.5

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.5

$x^{2} + 9$ 및 ${(x^{2} + 9)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.5.1

$2 x (x^{2} - 27) (x^{2} + 9)$ 에서 $x^{2} + 9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 9)}^{4}}$

단계 1.1.2.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.5.2.1

${(x^{2} + 9)}^{4}$ 에서 $x^{2} + 9$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

단계 1.1.2.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 9) (2 x (x^{2} - 27))}{(x^{2} + 9) {(x^{2} + 9)}^{3}}$

단계 1.1.2.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$ 입니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$\frac{2 x (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$2 x (x^{2} - 27) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x^{2} - 27 = 0$

단계 1.2.3.2

$x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x = 0$

단계 1.2.3.3

$x^{2} - 27$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$x^{2} - 27$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} - 27 = 0$

단계 1.2.3.3.2

$x^{2} - 27 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.1

방정식의 양변에 $27$ 를 더합니다.

$x^{2} = 27$

단계 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{27}$

단계 1.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{27}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.3.1

$27$ 을 $3^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.3.1.1

$27$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$x = \pm \sqrt{9 (3)}$

단계 1.2.3.3.2.3.1.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

단계 1.2.3.3.2.3.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 3 \sqrt{3}$

단계 1.2.3.3.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 \sqrt{3}$

단계 1.2.3.3.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 \sqrt{3}$

단계 1.2.3.3.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

단계 1.2.3.4

$2 x (x^{2} - 27) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, 3 \sqrt{3}, - 3 \sqrt{3}$

단계 2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{x}{x^{2} + 9}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x^{2} + 9 = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$x^{2} = - 9$

단계 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

단계 2.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$- 9$ 을 $- 1 (9)$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

단계 2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ 을 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

단계 2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

단계 2.2.3.4

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

단계 2.2.3.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \cdot 3$

단계 2.2.3.6

$i$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$x = \pm 3 i$

단계 2.2.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3 i$

단계 2.2.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3 i$

단계 2.2.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3 i, - 3 i$

단계 2.3

정의역은 모든 실수입니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - 3 \sqrt{3}) \cup (- 3 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 3 \sqrt{3}) \cup (3 \sqrt{3}, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8$ 을 대입합니다.

$f'' (- 8) = \frac{2 (- 8) ({(- 8)}^{2} - 27)}{{({(- 8)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{{({(- 8)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{{(64 + 9)}^{3}}$

단계 4.2.2.2

$64$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{73^{3}}$

단계 4.2.2.3

$73$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 ({(- 8)}^{2} - 27)}{389017}$

단계 4.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 (64 - 27)}{389017}$

단계 4.2.3.2

$64$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 16 \cdot 37}{389017}$

단계 4.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$- 16$ 에 $37$ 을 곱합니다.

$f'' (- 8) = \frac{- 592}{389017}$

단계 4.2.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (- 8) = - \frac{592}{389017}$

단계 4.2.5

최종 답은 $- \frac{592}{389017}$ 입니다.

$- \frac{592}{389017}$

단계 4.3

$f'' (- 8)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(- 3 \sqrt{3}, 0)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 3$ 을 대입합니다.

$f'' (- 3) = \frac{2 (- 3) ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{({(- 3)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

단계 5.2.2.2

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{18^{3}}$

단계 5.2.2.3

$18$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 ({(- 3)}^{2} - 27)}{5832}$

단계 5.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 (9 - 27)}{5832}$

단계 5.2.3.2

$9$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$f'' (- 3) = \frac{- 6 \cdot - 18}{5832}$

단계 5.2.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$- 6$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$f'' (- 3) = \frac{108}{5832}$

단계 5.2.4.2

$108$ 및 $5832$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

$108$ 에서 $108$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 3) = \frac{108 (1)}{5832}$

단계 5.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.2.1

$5832$ 에서 $108$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- 3) = \frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

단계 5.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (- 3) = \frac{108 \cdot 1}{108 \cdot 54}$

단계 5.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- 3) = \frac{1}{54}$

단계 5.2.5

최종 답은 $\frac{1}{54}$ 입니다.

$\frac{1}{54}$

단계 5.3

$f'' (- 3)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(0, 3 \sqrt{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = \frac{2 (3) ({(3)}^{2} - 27)}{{({(3)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{{(3^{2} + 9)}^{3}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{{(9 + 9)}^{3}}$

단계 6.2.2.2

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{18^{3}}$

단계 6.2.2.3

$18$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (3) = \frac{6 (3^{2} - 27)}{5832}$

단계 6.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (3) = \frac{6 (9 - 27)}{5832}$

단계 6.2.3.2

$9$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$f'' (3) = \frac{6 \cdot - 18}{5832}$

단계 6.2.4

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.1

$6$ 에 $- 18$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = \frac{- 108}{5832}$

단계 6.2.4.2

$- 108$ 및 $5832$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.2.1

$- 108$ 에서 $108$ 를 인수분해합니다.

$f'' (3) = \frac{108 (- 1)}{5832}$

단계 6.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.4.2.2.1

$5832$ 에서 $108$ 를 인수분해합니다.

$f'' (3) = \frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

단계 6.2.4.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (3) = \frac{108 \cdot - 1}{108 \cdot 54}$

단계 6.2.4.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (3) = \frac{- 1}{54}$

단계 6.2.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (3) = - \frac{1}{54}$

단계 6.2.5

최종 답은 $- \frac{1}{54}$ 입니다.

$- \frac{1}{54}$

단계 6.3

$f'' (3)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, 3 \sqrt{3})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 3 \sqrt{3})$ 에서 아래로 오목함

단계 7

$(3 \sqrt{3}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f'' (8) = \frac{2 (8) ({(8)}^{2} - 27)}{{({(8)}^{2} + 9)}^{3}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{{(8^{2} + 9)}^{3}}$

단계 7.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{{(64 + 9)}^{3}}$

단계 7.2.2.2

$64$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{73^{3}}$

단계 7.2.2.3

$73$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (8) = \frac{16 (8^{2} - 27)}{389017}$

단계 7.2.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$8$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (8) = \frac{16 (64 - 27)}{389017}$

단계 7.2.3.2

$64$ 에서 $27$ 을 뺍니다.

$f'' (8) = \frac{16 \cdot 37}{389017}$

단계 7.2.4

$16$ 에 $37$ 을 곱합니다.

$f'' (8) = \frac{592}{389017}$

단계 7.2.5

최종 답은 $\frac{592}{389017}$ 입니다.

$\frac{592}{389017}$

단계 7.3

$f'' (8)$ 이 양수이므로 그래프는 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, - 3 \sqrt{3})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- 3 \sqrt{3}, 0)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(0, 3 \sqrt{3})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(3 \sqrt{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 9