미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$- 6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 6 x^{2}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [9 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.3.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.3.3

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} - 12 x + 9 + 0$

단계 1.1.1.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 9$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 12 x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.2.3

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.3.3

$- 12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]$

단계 1.1.2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.4.1

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$6 x - 12 + 0$

단계 1.1.2.4.2

$6 x - 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 6 x - 12$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x - 12$ 입니다.

$6 x - 12$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x - 12 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x - 12 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $12$ 를 더합니다.

$6 x = 12$

단계 1.2.3

$6 x = 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$6 x = 12$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{12}{6}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$12$ 을 $6$ 로 나눕니다.

$x = 2$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 6 (0) - 12$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 12$

단계 4.2.2

$0$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 12$

단계 4.2.3

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 아래로 오목함

단계 5

$(2, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 6 (4) - 12$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 24 - 12$

단계 5.2.2

$24$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 12$

단계 5.2.3

최종 답은 $12$ 입니다.

$12$

단계 5.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 6

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7