미적분 예제

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{2} x^{4} - 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{2} x^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.3

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.4

$\frac{4}{2}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.5.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2.5.2.4

$2 x^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

단계 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{2}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$2 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x^{3} - 4 (2 x)$

단계 1.1.1.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 2 x^{3} - 8 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

단계 1.1.2.2.3

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 x^{2} - 8 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 6 x^{2} - 8$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $6 x^{2} - 8$ 입니다.

$6 x^{2} - 8$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $6 x^{2} - 8 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$6 x^{2} - 8 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$6 x^{2} = 8$

단계 1.2.3

$6 x^{2} = 8$ 의 각 항을 $6$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$6 x^{2} = 8$ 의 각 항을 $6$ 로 나눕니다.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{8}{6}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{2} = \frac{8}{6}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

$8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{2 (4)}{6}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

단계 1.2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

단계 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 1.2.5.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 1.2.5.4.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

단계 1.2.5.4.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

단계 1.2.5.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 1.2.5.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 1.2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.2.5.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.2.5.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

단계 1.2.5.4.6.5

지수값을 계산합니다.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 1.2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

단계 4

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 4$ 을 대입합니다.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} - 8$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 - 8$

단계 4.2.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (- 4) = 96 - 8$

단계 4.2.2

$96$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f'' (- 4) = 88$

단계 4.2.3

최종 답은 $88$ 입니다.

$88$

단계 4.3

$f'' (- 4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 6 {(0)}^{2} - 8$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 6 \cdot 0 - 8$

단계 5.2.1.2

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 8$

단계 5.2.2

$0$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 8$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 8$ 입니다.

$- 8$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 6 {(4)}^{2} - 8$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 6 \cdot 16 - 8$

단계 6.2.1.2

$6$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 96 - 8$

단계 6.2.2

$96$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 88$

단계 6.2.3

최종 답은 $88$ 입니다.

$88$

단계 6.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8