미적분 예제

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

$f (x) = {(x - 4)}^{2}$ , $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

단계 1.1.1.2

${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

단계 1.1.1.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.1

${(x - 2)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4.2

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.4.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.4.5.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.5

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.5.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.5.3

$u_{2}$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.6.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.6.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.6.5.2

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.7.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.7.1.1

$2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ 에서 $2 (x - 2) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.7.1.1.1

$2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ 에서 $2 (x - 2) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.1.2

$- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ 에서 $2 (x - 2) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.1.3

$2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ 에서 $2 (x - 2) (x - 4)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.4

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.5

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.6

$- 2$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.1.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.2

$x - 2$ 및 ${(x - 2)}^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.7.2.1

$4 (x - 2) (x - 4)$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.7.2.2.1

${(x - 2)}^{4}$ 에서 $x - 2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

단계 1.1.1.7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

단계 1.1.1.7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

단계 1.1.2.2

$f (x) = x - 4$ , $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

단계 1.1.2.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1

${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

단계 1.1.2.3.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.3.2

합의 법칙에 의해 $x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.3.4

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.3.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.3.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.3.5.2

${(x - 2)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.4

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.4.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.4.3

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.5.2

${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ 에서 ${(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.5.2.1

${(x - 2)}^{3}$ 에서 ${(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.5.2.2

$- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ 에서 ${(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.5.2.3

${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ 에서 ${(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

단계 1.1.2.6

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.6.1

${(x - 2)}^{6}$ 에서 ${(x - 2)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.7

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.9

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.10

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.10.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.10.2

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.10.3

$4$ 와 $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.3.1.1

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3.1.2

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3.1.3

$4 (- 3 \cdot - 4)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.3.1.3.1

$- 3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3.1.3.2

$4$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3.2

$4 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.3.3

$- 8$ 를 $48$ 에 더합니다.

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.4

$- 8 x + 40$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.11.4.1

$- 8 x$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.4.2

$40$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.4.3

$8 (- x) + 8 (5)$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.5

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.6

$5$ 을 $- 1 (- 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.7

$- (x) - 1 (- 5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.8

$- (x - 5)$ 을 $- 1 (x - 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.2.11.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ 입니다.

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

단계 1.2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$8 (x - 5) = 0$

단계 1.2.3

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$8 (x - 5) = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.1

$8 (x - 5) = 0$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

단계 1.2.3.1.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

단계 1.2.3.1.2.1.2

$x - 5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 5 = \frac{0}{8}$

단계 1.2.3.1.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1.3.1

$0$ 을 $8$ 로 나눕니다.

$x - 5 = 0$

단계 1.2.3.2

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

단계 2

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

${(x - 2)}^{2} = 0$

단계 2.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.2.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

구간 표기:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

조건제시법:

${x | x \neq 2}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

단계 4

$(- \infty, 2)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$0$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

단계 4.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

단계 4.2.2.2

$- 2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

단계 4.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$8$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

단계 4.2.3.2

$- 40$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.1

$- 40$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

단계 4.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.2.2.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

단계 4.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

단계 4.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

단계 4.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

단계 4.2.4

최종 답은 $\frac{5}{2}$ 입니다.

$\frac{5}{2}$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 2)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

단계 5

$(2, 5)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

단계 5.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

단계 5.2.2.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

단계 5.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

단계 5.2.3.2

$- 8$ 및 $16$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.1

$- 8$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

단계 5.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.2.2.1

$16$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

단계 5.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

단계 5.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

단계 5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

단계 5.2.4

최종 답은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 5.3

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, 5)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, 5)$ 에서 위로 오목함

단계 6

$(5, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

단계 6.2.2

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

단계 6.2.2.2

$6$ 를 $4$ 승 합니다.

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

단계 6.2.3

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

$8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

단계 6.2.3.2

$24$ 및 $1296$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.1

$24$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

단계 6.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.2.2.1

$1296$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

단계 6.2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

단계 6.2.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

단계 6.2.4

최종 답은 $- \frac{1}{54}$ 입니다.

$- \frac{1}{54}$

단계 6.3

$f'' (8)$ 이 음수이므로 그래프는 $(5, \infty)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(5, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(- \infty, 2)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(2, 5)$ 에서 위로 오목함

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(5, \infty)$ 에서 아래로 오목함

단계 8