미적분 예제

$y = - x^{2} + x$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = - {(x + h)}^{2} + x + h$

단계 2.1.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = - ((x + h) (x + h)) + x + h$

단계 2.1.2.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = - (x (x + h) + h (x + h)) + x + h$

단계 2.1.2.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h$

단계 2.1.2.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

단계 2.1.2.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h$

단계 2.1.2.2.3.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h$

단계 2.1.2.2.3.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h$

단계 2.1.2.2.3.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h$

단계 2.1.2.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = - x^{2} - (2 h x) - h^{2} + x + h$

단계 2.1.2.2.5

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = - x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

단계 2.1.2.3

최종 답은 $- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$ 입니다.

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + x + h$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + h + x$

단계 2.2.2

$- x^{2}$ 를 옮깁니다.

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + h + x$

단계 2.2.3

$- 2 h x$ 와 $- h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x$

$f (x) = - x^{2} + x$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x - (- x^{2} + x)}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

단계 4.1.2

$- - x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + 1 x^{2} - x}{h}$

단계 4.1.2.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + h + x + x^{2} - x}{h}$

단계 4.1.3

$- x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x + 0 - x}{h}$

단계 4.1.4

$- h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + x - x}{h}$

단계 4.1.5

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h + 0}{h}$

단계 4.1.6

$- h^{2} - 2 h x + h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + h}{h}$

단계 4.1.7

$- h^{2} - 2 h x + h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.7.1

$- h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + h}{h}$

단계 4.1.7.2

$- 2 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

단계 4.1.7.3

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h}{h}$

단계 4.1.7.4

$h^{1}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.7.5

$h (- h) + h (- 2 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 1}{h}$

단계 4.1.7.6

$h (- h - 2 x) + h \cdot 1$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 1)}{h}$

단계 4.2.1.2

$- h - 2 x + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 1$

단계 4.2.2

$- h$ 와 $- 2 x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 1$

단계 5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

단계 6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $2 x$ 의 극한을 구합니다.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

단계 7

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 1$

단계 8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$- 2 x + 0 + 1$

단계 8.2

$- 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 x + 1$

단계 9