미적분 예제

$f (x) = x^{3} - 5$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 2.1.2.1

이항정리 이용

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

단계 2.1.2.2

최종 답은 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$ 입니다.

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

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단계 2.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

단계 2.2.2

$x$ 를 옮깁니다.

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5$

단계 2.2.3

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5$

단계 2.2.4

$3 h x^{2}$ 를 옮깁니다.

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

단계 2.2.5

$3 h^{2} x$ 와 $h^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - (x^{3} - 5)}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

단계 4.1.2

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

단계 4.1.3

$x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 5 + 5}{h}$

단계 4.1.4

$h^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 + 5}{h}$

단계 4.1.5

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

단계 4.1.6

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

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단계 4.1.7.1

$h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.2

$3 h^{2} x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

단계 4.1.7.3

$3 h x^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.4

$h (h^{2}) + h (3 h x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

단계 4.1.7.5

$h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

단계 4.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

단계 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

단계 4.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 4.2.2.1

$h$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

단계 4.2.2.2

$h^{2}$ 를 옮깁니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

단계 4.2.2.3

$3 x h$ 와 $3 x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

단계 5

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

단계 6

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3 x^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

단계 7

$3 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

단계 8

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

단계 9

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 9.1

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

단계 9.2

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

단계 10

답을 간단히 합니다.

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단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1.1

$3 x \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 10.1.1.1

$0$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

단계 10.1.1.2

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

단계 10.1.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$3 x^{2} + 0 + 0$

단계 10.2

$3 x^{2} + 0 + 0$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 10.2.2

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 11