미적분 예제

$f (x) = 3 x^{2}$

단계 1

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

단계 2

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

단계 2.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

단계 2.1.2.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

단계 2.1.2.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

단계 2.1.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

단계 2.1.2.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

단계 2.1.2.3.1.2

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

단계 2.1.2.3.2

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.2.1

$x$ 와 $h$ 을 다시 정렬합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

단계 2.1.2.3.2.2

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

단계 2.1.2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

단계 2.1.2.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

단계 2.1.2.6

최종 답은 $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

단계 2.2

다시 정렬합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$3 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

단계 2.2.2

$6 h x$ 와 $3 h^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

단계 2.3

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

단계 3

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

단계 4.1.2

$3 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

단계 4.1.3

$3 h^{2} + 6 h x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

단계 4.1.4

$3 h^{2} + 6 h x$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.4.1

$3 h^{2}$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

단계 4.1.4.2

$6 h x$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

단계 4.1.4.3

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

단계 4.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

단계 4.2.1.2

$3 (h + 2 x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

단계 4.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

단계 4.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

단계 4.2.3.2

$3 h$ 와 $6 x$ 을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

단계 5

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

단계 5.2

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6 x$ 의 극한을 구합니다.

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

단계 5.3

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

단계 6

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$6 x + 3 \cdot 0$

단계 7

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 x + 0$

단계 7.2

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x$

단계 8