미적분 예제

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

단계 1

$f (x) = x^{3} + 1$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 3 x^{2}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2}$ 입니다.

$3 x^{2}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

$f' (x)$ 는 $[2, 3]$ 에서 연속입니다.

$f' (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f'$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

단계 6

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$3$ , $2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.2.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

단계 8.2.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

단계 8.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

단계 8.2.2.5

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

단계 8.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

단계 8.2.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.7.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

단계 8.2.2.7.2

$27$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

단계 8.2.2.8

$3$ 와 $\frac{19}{3}$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

단계 8.2.2.9

$3$ 에 $19$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

단계 8.2.2.10

$57$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.10.1

$57$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

단계 8.2.2.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

단계 8.2.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

단계 8.2.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

단계 8.2.2.10.2.4

$19$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

단계 9

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

단계 10

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

단계 10.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = 1 \cdot 19$

단계 11

$19$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$A (x) = 19$

단계 12