미적분 예제

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

단계 1

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.1.3

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 1.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 1.1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 1.1.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 1.1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 1.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 1.1.9

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.1.10

$2$ 와 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

단계 1.1.11

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.12

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.1.13

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

함수의 평균값을 구하려면 함수가 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이어야 합니다. $f' (x)$ 이 $[4, 9]$ 에서 연속인지 판단하려면 $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 2.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

단계 2.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

단계 2.2

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{x}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$x \geq 0$

단계 2.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$\sqrt{x} = 0$

단계 2.4

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.4.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

단계 2.4.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 2.4.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 2.4.2.2.1.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 2.4.2.2.1.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$x^{1} = 0^{2}$

단계 2.4.2.2.1.2

간단히 합니다.

$x = 0^{2}$

단계 2.4.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.4.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$x = 0$

단계 2.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

구간 표기:

$(0, \infty)$

조건제시법:

${x | x > 0}$

단계 3

$f' (x)$ 는 $[4, 9]$ 에서 연속입니다.

$f' (x)$ 는 연속입니다

단계 4

$[a, b]$ 구간에서의 함수 $f'$ 의 평균값은 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 로 정의됩니다.

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

단계 5

실제값을 함수의 평균값을 구하는 공식에 대입합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

단계 6.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

단계 6.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$9$ , $4$ 일 때, $2 x^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.4

지수값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.6

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

단계 8.2.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 8.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

단계 8.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

단계 8.2.9

지수값을 계산합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

단계 8.2.10

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

단계 8.2.11

$6$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

단계 9

$9$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

단계 10

$\frac{1}{5}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$A (x) = \frac{2}{5}$

단계 11