미적분 예제

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

단계 1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

단계 2

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

단계 2.1.2

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

단계 2.1.3

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 ${(t - 3)}^{2}$ 입니다.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

단계 2.1.4

${(t - 3)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

단계 2.1.4.2

$t$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

단계 2.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1

${(t - 3)}^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

단계 2.1.5.1.2

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

단계 2.1.5.2

${(t - 3)}^{2}$ 및 $t - 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.2.1

$(B) {(t - 3)}^{2}$ 에서 $t - 3$ 를 인수분해합니다.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

단계 2.1.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.5.2.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

단계 2.1.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

단계 2.1.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

단계 2.1.5.2.2.4

$B (t - 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$t = A + B (t - 3)$

단계 2.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$t = A + B t + B \cdot - 3$

단계 2.1.5.4

$B$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$t = A + B t - 3 B$

단계 2.1.6

$A$ 와 $B t$ 을 다시 정렬합니다.

$t = B t + A - 3 B$

단계 2.2

부분분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

방정식의 각 변의 $t$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = B$

단계 2.2.2

$t$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A - 3 B$

단계 2.2.3

부분분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

단계 2.3

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

단계 2.3.2

각 방정식에서 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$0 = A - 3 B$ 의 $B$ 를 모두 $1$ 로 바꿉니다.

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

단계 2.3.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

단계 2.3.3

$0 = A - 3$ 의 $A$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$A - 3 = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A - 3 = 0$

$B = 1$

단계 2.3.3.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

단계 2.3.4

연립방정식을 풉니다.

$A = 3 B = 1$

단계 2.3.5

모든 해를 나열합니다.

$A = 3, B = 1$

단계 2.4

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

단계 2.5

수식에서 0을 제거합니다.

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 4

$3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 5

먼저 $u_{1} = t - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{1} = t - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$t - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 5.1.2

합의 법칙에 의해 $t - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 5.1.4

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 5.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 5.2

$u_{1} = t - 3$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 3$

단계 5.3

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 3$

단계 5.4

$u_{1} = t - 3$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 - 3$

단계 5.5

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

단계 5.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

${u_{1}}^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 6.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{- 2}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{1}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

단계 8

먼저 $u_{2} = t - 3$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u_{2} = t - 3$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$t - 3$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

단계 8.1.2

합의 법칙에 의해 $t - 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

단계 8.1.4

$- 3$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$1 + 0$

단계 8.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 8.2

$u_{2} = t - 3$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 - 3$

단계 8.3

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 3$

단계 8.4

$u_{2} = t - 3$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 - 3$

단계 8.5

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

단계 8.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$- 1$ , $- 3$ 일 때, $- {u_{1}}^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

단계 10.2

$- 1$ , $- 3$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.2

$\frac{1}{- 1}$ 의 분모에서 -1을 옮깁니다.

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.5

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.9

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.10

$3$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.11

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.12

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.12.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.12.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 10.3.12.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

단계 11

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

단계 12.1.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 3$ 과 $0$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

단계 12.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

단계 12.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

소수 형태:

$1.80277542 \dots$

단계 14