미적분 예제

$\int_{0}^{2} | z - z^{2} | d z$

단계 1

$z - z^{2}$ 이 양수인지 음수인지에 따라 적분 구간을 나눕니다.

$\int_{0}^{1} z - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{0}^{1} z d z + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $z$ 를 $z$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} z^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 4

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $z^{2}$ 를 $z$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} z^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 와 $z^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

단계 8

$- 1$ 은 $z$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - \int_{1}^{2} z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $z$ 를 $z$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} z^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{1}{2} z^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $z^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $z^{2}$ 를 $z$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} z^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{2} z^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

단계 12.2

$1$ , $0$ 일 때, $\frac{z^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

단계 12.3

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{z^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

단계 12.4

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{3} z^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.5

$0$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.6

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.8

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.9

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.9.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.9.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.9.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.10

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.11

$\frac{1}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.14

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.14.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.14.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.14.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.14.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 - 2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.16

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.17

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.18

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.18.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.18.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.18.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.18.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.19

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.20

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.21

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.22

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.23

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.23.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} - \frac{4 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.23.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.24

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{3}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.25

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.25.1

$\frac{3}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.25.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.27

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.27.1

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 9}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.27.2

$1$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$\frac{- 8}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.28

$- 8$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.28.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 4)}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.28.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.28.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.28.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.28.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.29

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.30

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.31

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 12.5.32

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

단계 12.5.33

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

단계 12.5.34

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{8 - 1}{3}$

단계 12.5.35

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

단계 12.5.36

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 4 + 7}{3}$

단계 12.5.37

$- 4$ 를 $7$ 에 더합니다.

$\frac{3}{3}$

단계 12.5.38

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.38.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3}{3}$

단계 12.5.38.2

수식을 다시 씁니다.

$1$

단계 13