미적분 예제

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

단계 1

$\frac{8}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{8}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$x^{5}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

단계 2.2

${(x^{5})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

단계 2.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{- 5}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 가 됩니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$8$ , $1$ 일 때, $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 4.2.2

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 4.2.3

$\frac{1}{4096}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 4.2.4

$4096$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

단계 4.2.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 4.2.6

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

단계 4.2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4096}{4096}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

단계 4.2.8

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $16384$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.2.8.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{4096}{4096}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

단계 4.2.8.2

$4$ 에 $4096$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

단계 4.2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

단계 4.2.10

$- 1$ 를 $4096$ 에 더합니다.

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

단계 4.2.11

$\frac{8}{3}$ 에 $\frac{4095}{16384}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

단계 4.2.12

$8$ 에 $4095$ 을 곱합니다.

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

단계 4.2.13

$3$ 에 $16384$ 을 곱합니다.

$\frac{32760}{49152}$

단계 4.2.14

$32760$ 및 $49152$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.14.1

$32760$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$\frac{24 (1365)}{49152}$

단계 4.2.14.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.14.2.1

$49152$ 에서 $24$ 를 인수분해합니다.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

단계 4.2.14.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

단계 4.2.14.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1365}{2048}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1365}{2048}$

소수 형태:

$0.66650390 \dots$

단계 6