미적분 예제

$\int x {(x + 7)}^{6} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 7$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x + 7$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x + 7$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

단계 1.1.4

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (u - 7) u^{6} d u$

단계 2

$(u - 7) u^{6}$ 을 곱합니다.

$\int u \cdot u^{6} - 7 u^{6} d u$

단계 3

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$u$ 에 $u^{6}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{6} - 7 u^{6} d u$

단계 3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 6} - 7 u^{6} d u$

단계 3.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\int u^{7} - 7 u^{6} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{7} d u + \int - 7 u^{6} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{8} u^{8}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 7 u^{6} d u$

단계 6

$- 7$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 \int u^{6} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{8} u^{8} - 7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 7$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 7}{7} u^{7} + C$

단계 8.2.2

$- 7$ 및 $7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

$- 7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7} u^{7} + C$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.2.1

$7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 (1)} u^{7} + C$

단계 8.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 1} u^{7} + C$

단계 8.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 1}{1} u^{7} + C$

단계 8.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{8} u^{8} - u^{7} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} {(x + 7)}^{8} - {(x + 7)}^{7} + C$