미적분 예제

$\int \sqrt{y} (4 - 3 y - 2 y^{2}) d y$

단계 1

$u = 4 - 3 y - 2 y^{2}$ 이고 $d v = \sqrt{y}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $y^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $y^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y - 3) d y$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y) + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

단계 3.2

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $- 4$ 을 다시 정렬합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

단계 3.3

$\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $- 3$ 을 다시 정렬합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.4

$- 4$ 와 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.5

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.6

$\frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $y$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}} y}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.7

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 (y^{\frac{3}{2}} y^{1})}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.9

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.11

$3$ 를 $2$ 에 더합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 3.12

$- 3$ 와 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

단계 3.13

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

단계 4.2

$- 6 y^{\frac{3}{2}}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

단계 4.3

공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d y$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d y$

단계 4.3.3

수식을 다시 씁니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 y^{\frac{3}{2}}}{1} d y$

단계 4.3.4

$- 2 y^{\frac{3}{2}}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{3}{2}} d y$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 6

$- 1$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \int \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 7

$\frac{8}{3}$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $\frac{8}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- (\frac{8}{3} \int y^{\frac{5}{2}} d y) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{5}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 9

$\frac{2}{7}$ 와 $y^{\frac{7}{2}}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 10

$- 2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 \int y^{\frac{3}{2}} d y)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{3}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{2}{5}$ 와 $y^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 12.2

간단히 합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{y^{\frac{7}{2}} \cdot - 4}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

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단계 12.3.1

$y^{\frac{7}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 \cdot y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.3

$\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$ 에 $\frac{8}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{2 y^{\frac{7}{2}} \cdot 8}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.4

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.5

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.6

$- 2$ 와 $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 2 (2 y^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

단계 12.3.7

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 12.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

단계 12.3.10

$- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

단계 12.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

단계 12.3.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} (8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16}{21} y^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}})) - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} y^{\frac{7}{2}} + C$