미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 1.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

단계 1.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (u_{1})$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

단계 2.2

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 와 $\sin (\sin (u_{1}))$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$\sin (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

단계 4.1.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1})$

단계 4.2

$u_{2} = \sin (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 4.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u_{2} = \sin (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 4.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

단계 5

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

단계 6

$1$ , $0$ 일 때, $- \cos (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

단계 7

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\cos (1)$ 의 값을 구합니다.

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

단계 8.2

$- 1$ 에 $0.5403023$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

단계 8.3

$- 0.5403023$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

단계 8.4

$\frac{1}{2}$ 와 $0.45969769$ 을 묶습니다.

$\frac{0.45969769}{2}$

단계 8.5

$0.45969769$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$0.22984884$