미적분 예제

$e^{4 x} + e^{- x}$

단계 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

단계 2

함수의 1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.2.5

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 2.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 2.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 2.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 3

함수의 2차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 e^{4 x}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.3

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.6

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.2.7

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{- x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 입니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

단계 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

단계 3.3.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 3.3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

단계 3.3.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

단계 3.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

단계 3.3.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

단계 3.3.6

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

단계 3.3.7

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

단계 3.3.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

단계 3.3.9

$e^{- x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

단계 4

함수의 극대값과 극소값을 구하기 위해 도함수를 $0$ 으로 두고 식을 풉니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

단계 5

1차 도함수를 구합니다.

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단계 5.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

합의 법칙에 의해 $e^{4 x} + e^{- x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.2.5

$e^{4 x}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

단계 5.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 5.1.3.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

단계 5.1.3.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

단계 5.1.3.5

$e^{- x}$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

단계 5.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ 을 $- e^{- x}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 5.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 입니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

단계 6

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ 을 풉니다.

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단계 6.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

단계 6.2

양변에 그 값을 더하여 $- e^{- x}$ 을 식의 우변으로 옮깁니다.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

단계 6.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 6.4

왼편을 확장합니다.

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단계 6.4.1

$\ln (4 e^{4 x})$ 을 $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

단계 6.4.2

$4 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{4 x})$ 을 전개합니다.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

단계 6.4.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

단계 6.4.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

단계 6.5

왼편을 확장합니다.

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단계 6.5.1

$- x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- x})$ 을 전개합니다.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

단계 6.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

단계 6.5.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (4) + 4 x = - x$

단계 6.6

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 6.6.1

방정식의 양변에 $x$ 를 더합니다.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

단계 6.6.2

$4 x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\ln (4) + 5 x = 0$

단계 6.7

방정식의 양변에서 $\ln (4)$ 를 뺍니다.

$5 x = - \ln (4)$

단계 6.8

$5 x = - \ln (4)$ 의 각 항을 $5$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 6.8.1

$5 x = - \ln (4)$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 6.8.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 6.8.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 6.8.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

단계 6.8.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 6.8.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

단계 7

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

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단계 7.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 8

계산할 임계점.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

단계 9

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 에서 이차 미분값을 계산합니다. 이차 미분값이 양이면 이는 극소점입니다. 이차 미분값이 음이면 이는 극대점입니다.

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{\ln (4)}{5}$ 을 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.2

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 을 간단히 합니다.

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.3

$4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 을 곱합니다.

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단계 10.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.3.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.4

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ 을 간단히 합니다.

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.5

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.6

${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 10.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.6.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.7

${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 10.7.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.7.2

$\frac{1}{5}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.7.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.9

$16$ 와 $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

단계 10.10

$\frac{\ln (4)}{5}$ 을 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

단계 10.11

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

단계 10.12

$- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 을 곱합니다.

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단계 10.12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

단계 10.12.2

$\ln (4^{\frac{1}{5}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

단계 10.13

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

단계 11

이계도함수가 양수이므로 $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 은 극소값입니다. 이를 이계도함수 판정법이라고 합니다.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 은 극소값입니다.

단계 12

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 일 때 y값을 구합니다.

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단계 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

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단계 12.1.1

$\frac{\ln (4)}{5}$ 을 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 로 바꿔 씁니다.

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

단계 12.1.2

$\frac{1}{5}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 을 간단히 합니다.

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

단계 12.2

수식에서 변수 $x$ 에 $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 을 대입합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3

결과를 간단히 합니다.

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단계 12.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.3.1.1

$4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1.1.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.1.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.2

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ 을 간단히 합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.3

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.4

${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.3.1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.4.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.5

${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.5.2

$\frac{1}{5}$ 와 $- 4$ 을 묶습니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

단계 12.3.1.7

$- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 을 곱합니다.

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단계 12.3.1.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

단계 12.3.1.7.2

$\ln (4^{\frac{1}{5}})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

단계 12.3.1.8

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

단계 12.3.2

최종 답은 $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ 입니다.

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

단계 13

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ 에 대한 극값입니다.

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ 은 극솟값임

단계 14