미적분 예제

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

단계 1

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

단계 2

$9 + 4 u^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$9$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

단계 2.2

$4 u^{2}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

단계 2.3

$4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

단계 4

$\frac{9}{4}$ 을 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

단계 5

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{3}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

단계 6.1.2

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

단계 6.1.3

$\frac{3}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

단계 6.1.4

$u$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

단계 6.1.5

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

단계 6.1.6

$\frac{2}{3}$ 와 $\arctan (\frac{2 u}{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

단계 6.2

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ 을 $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3.3

$2$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.3.2.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 6.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\sec (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$